Satz von Rolle

Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Er sagt aus, dass eine Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, an mindestens einer Stelle x₀ aus (a,b) die Ableitung Null hat: $f '\left(x_0\right) = 0$.

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion f gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Der Satz von Rolle ist einerseits ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Andererseits lässt sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.

Beweis

Für eine konstante Funktion f ist die Aussage trivial und gilt für alle c aus dem offenen Intervall (a, b).

Es bleibt der Fall, dass f nicht konstant ist. Es gibt dann entweder Werte x mit $f\left(x\right)>f\left(a\right)$ oder Werte x mit $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ oder beides. Da f über dem kompakten Intervall [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle c in [a, b] ein Maximum (im ersten Fall) bzw. ein Minimum (im zweiten Fall) an. Es muss dann a < c < b sein, weil a und b keine Maximumstellen (im ersten Fall) bzw. keine Minimumstellen (im zweiten Fall) sein können.

An dieser Extremalstelle c muss die Ableitung $f'\left(c\right)$ gleich 0 sein: Andernfalls könnten wir o.B.d.A. annehmen, dass $f'\left(c\right)>0$. Für alle x aus einer hinreichend kleinen Umgebung um c gilt dann $f\left(x\right)-f\left(c\right)<0$, wenn x < c und $f\left(x\right)-f\left(c\right)>0$, wenn x > c (direkte Folgerung aus der Definition von f'(c)), und es gäbe dann in jeder Umgebung von c sowohl Elemente x mit $f\left(x\right)>f\left(c\right)$ wie auch Elemente x mit $f\left(x\right)<f\left(c\right)$, im Widerspruch zu der Tatsache, dass f in c ein Extremum hat.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2