- Schnittkurve
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Die Schnittgerade ist ein geometrischer Begriff.
Es gibt grundsätzlich drei verschiedene Möglichkeiten für die gegenseitige Lage zweier Ebenen:
- Ebenen sind identisch
- Ebenen sind echt parallel
- Ebenen schneiden sich, wodurch eine Schnittgerade entsteht
Die Untersuchung dieser Lagebeziehung wird in der Analytischen Geometrie durchgeführt. Hier betrachtet man auch Geraden, die entweder
- echt parallel (kein Schnittpunkt),
- identisch (unendlich viele Schnittpunkte),
- windschief sein können (kein Schnittpunkt), oder
- genau einen Schnittpunkt haben.
Zur Lage von Geraden
Um festzustellen, welcher der oben genannten Fälle vorliegt, betrachtet man jeweils die Richtungsvektoren der betreffenden Geraden.
Lässt sich der eine Richtungsvektor als Vielfaches des anderen ausdrücken (sind sie also linear abhängig), liegt entweder echte Parallelität oder Identität vor.
Kann man nun den Aufpunkt (Ortsvektor) der einen Gerade durch die Gleichung der anderen Geraden darstellen, liegt Identität vor, ansonsten Parallelität.
Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig handelt es sich um windschiefe Geraden, oder welche, die sich in einem Punkt schneiden. Hier setzt man die beiden Gleichungen gleich und erhält entweder keine (windschief) oder eine Lösung (Schnittpunkt).
Zur Lage von Ebenen
Ebenengleichungen besitzen jeweils zwei Richtungsvektoren. Deshalb untersucht man die lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren der einen und dem ersten Vektor der anderen Gleichung, dann nimmt man den noch nicht verwendeten und zwei beliebige der anderen Vektoren. Am besten bedient man sich der Determinanten, um die Abhängigkeiten festzustellen (0 bedeutet lineare Abhängigkeit).
Erhält man zweimal 0, sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Erfüllt der Aufpunkt der einen Ebenengleichung die Gleichung der anderen Ebene, liegt Identität vor, sonst echte Parallelität.
Sobald einmal nicht 0 herauskommt, schneiden sich die Ebenen. Durch Gleichsetzen erhält man die Gleichung der Schnittgerade.
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