Schraubung

Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um eine Drehachse um einen festen Winkel und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse.

Unter einer Schraubung versteht man in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes V eine Abbildung, die aus einer Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung mit Verschiebevektor v und einer Drehung um eine Gerade g besteht, bei der v parallel zu g ist.

In der Kristallographie sind Schraubenachsen mögliche Symmetrieelemente einer Raumgruppe.

Eine Schraubung stellt eine Isometrie auf V dar, da sie eine Verknüpfung zweier Isometrien ist. Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei der Klassifizierung der Isometrien in Dimension 3. Isometrien in dreidimensionalen Vektorräumen lassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen. Neben der Schraubung findet man:

• Identität
• Translation
• Drehung
• Spiegelung
• Gleitspiegelung
• Drehspiegelung

Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe

Spiralförmige Kette aus Telluratomen entlang der 3₁-Schraubenachse (blau hervorgehoben). Jedes dritte Atom ist deckungsgleich (blau hervorgehoben).Der Abstand zwischen den dunkel-, mittel- und hellblauen Atomen beträgt jeweils eine Gitterkonstante.

In einer Raumgruppe können nur Schraubenachsen vorkommen, die mit dem Translationsgitter der Gruppe verträglich sind. Daher kann es in einer Raumgruppe nur n-zählige Drehachsen geben, mit n = 2, 3, 4 oder 6. Da diese nach n-maliger Wiederholung wieder die Identität ergeben, können sie nur mit einem Tranlationsvektor verknüpft sein, der nach n-facher Wiederholung einem Vektor des Gitters entspricht. Das ist nur der Fall, wenn dessen Länge ein m-faches des n-ten Bruchteils der Gittertranslation in Richtung der Drehachse beträgt. Das Hermann-Mauguin-Symbol für diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol für die Drehachse n.

4₁bedeutet also eine 4-zählige Schraubenachse, bei der bei jeder Drehung um 90° eine Translation in Richtung der Drehachse von ¼ Gitterkonstanten hinzukommt. Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgeführt.

• 2₁
• (3₁ 3₂)
• (4₁ 4₃) 4₂
• (6₁ 6₅) (6₂ 6₄) 6₃

In Klammern zusammengefasst sind dabei Paare enantiomorpher Schraubenachsen. Diese Schraubenachsen unterscheiden sich nur durch den Drehsinn. Die erstgenannte Schraube ist eine Rechts-, die zweite die entsprechende Linksschraube. Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden.

Literatur

• Schwarzenbach D. Kristallographie, Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5

Weblinks

• Geometrieskript von Eschenburg, S. 56 (PDF-Datei; 676 kB) Kristallographische Schraubenachse