Separierbare Differentialgleichung

Die Methode der Trennung der Veränderlichen (auch Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen) ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen um Differentialgleichungen erster Ordnung der Gestalt

$\ y' = f(y)g(x)$

zu lösen.

Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.^[1]

Lösung des Anfangswertproblems

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

$y'(x) = f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_0) = y_0$

für stetige (reelle) Funktionen f und g. Falls f(y₀) = 0, so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion $y(x) :\equiv y_0$ gelöst.

Formulierung des Satzes

Es seien $x_0, y_0 \in \mathbb{R}$ mit $f(y_0) \neq 0$. Dann gilt:

• Es gibt ein y₀ umfassendes offenes Intervall $U \subset \mathbb{R}$ mit $f(y)\neq 0$ für alle $y \in U$. Dann ist die Abbildung $\Phi(y) := \int_{y_0}^y\frac{1}{f(s)}{\rm d}s$ auf U wohldefiniert und streng monoton.

Weiter gibt es ein x₀ umfassendes offenes Intervall $V \subset\mathbb{R}$, so dass die Abbildung $x \mapsto \int_{x_0}^xg(s){\rm d}s$ für alle $x \in V$ Werte in Φ(U) hat.

• Seien U und V wie oben. Dann ist $u(x) := \Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^x g(s){\rm d}s\right)$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'(x) = f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_0) = y_0$

auf V. u erfüllt also die implizite Gleichung $\Phi(u(x)) = \int_{x_0}^xg(s){\rm d}s$.

Beweis

Da $f(y_0) \neq 0$ und f stetig, gibt es ein y₀ umfassendes offenes Intervall U, so dass $f(y) \neq 0$ für alle $y \in U$. Insbesondere hat f auf U dasselbe Vorzeichen, so dass $\Phi(y) := \int_{y_0}^y\frac{1}{f(s)}{\rm d}s$ auf U wohldefiniert und streng monoton ist. Φ(U) ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein x₀ umfassendes offenes Intervall $V \subset \mathbb{R}$, so dass $\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s \in \Phi(U)$ für alle $x \in V$ gilt.

$u(x) := \Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s\right)$ ist auf V wohldefiniert, und wegen $\Phi'(y) = \frac{1}{f(y)}\neq 0$ für alle $y \in U$ gilt

$u'(x) = \frac{g(x)}{\Phi'(\Phi^{-1}(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s))} = f\left(\Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s\right)\right)g(x) = f(u(x))g(x)$

auf V. Bei der Ableitung u'(x) wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist g(x₀) = y₀.

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Beispiel

Gesucht sei die Lösung y des Anfangswertproblems

$y' = xy^2 + x\ ,\ y(0) = 1\ .$

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

$y' = x(y^2 + 1)\ .$

Setze also

$\Phi(y) := \int_1^y\frac{1}{1+s^2}{\rm d}s = \arctan y - \arctan 1 = \arctan y - \frac{\pi}{4}\ .$

Die Umkehrfunktion lautet

$\Phi^{-1}(y) = \tan\left(y + \frac{\pi}{4}\right)\ .$

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

$y(x) = \tan\left(\int_0^xs{\rm d}s + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\ .$

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Quellen

1. ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128