- Trennung der Veränderlichen
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Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von x und einer nur von y abhängigen Funktion ist: y' = f(y)g(x). Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[1]
Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz.
Inhaltsverzeichnis
Lösung des Anfangswertproblems
Wir untersuchen das Anfangswertproblem
für stetige (reelle) Funktionen f und g. Falls f(y0) = 0, so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion
gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.
Formulierung des Satzes
Es seien
mit
. Dann gilt:
- Es gibt ein y0 umfassendes offenes Intervall
mit
für alle
. Dann ist die Abbildung
auf U wohldefiniert und streng monoton.
- Weiter gibt es ein x0 umfassendes offenes Intervall
, so dass die Abbildung
für alle
Werte in Φ(U) hat.
- Seien U und V wie oben. Dann ist
die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
-
- auf V. u erfüllt also die implizite Gleichung
.
Man beachte, dass im Fall der konkreten Gestalt der getrennten Veränderlichen tatsächlich lokale Eindeutigkeit bei
vorliegt, obwohl f und g keine lokale Lipschitz-Bedingung zu erfüllen brauchen.
Beweis
Da
und f stetig, gibt es ein y0 umfassendes offenes Intervall U, so dass
für alle
. Insbesondere hat f auf U dasselbe Vorzeichen, so dass
auf U wohldefiniert und streng monoton ist. Φ(U) ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein x0 umfassendes offenes Intervall
, so dass
für alle
gilt.
ist auf V wohldefiniert, und wegen
für alle
gilt
auf V. Bei der Ableitung u'(x) wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist u(x0) = y0. Dies beweist die Existenz einer Lösung des angegebenen Anfangswertproblems.
Für die Eindeutigkeit nehme man an, dass
irgendeine Lösung des Anfangswertproblems auf V ist. Es wird nun gezeigt, dass
auf
x_0\}" border="0"> gilt; die Eindeutigkeit links von x0 geht analog.
Angenommen, die Eindeutigkeit rechts von x0 wäre verletzt. Wegen der Stetigkeit von u und
gibt es ein
mit
, so dass
für alle
wahr ist, für das jedoch die Aussage
auf
für jedes
0" border="0"> mit
falsch ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass es dennoch ein positives
0" border="0"> gibt, für das obige Aussage wahr ist, was den gewünschten Widerspruch impliziert.
Wegen
gibt es in
0" border="0"> mit
, so dass
für alle
gilt. Insbesondere ist
auf
wohldefiniert, und es gilt
für alle
.
Dies impliziert
, also
für alle
, welches mit der Definition von u übereinstimmt. Dies liefert den Widerspruch zur Annahme der Nichteindeutigeit.
Beispiel
Gesucht sei die Lösung y des Anfangswertproblems
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:
Setze also
Die Umkehrfunktion lautet
Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch
Einzelnachweise
- ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128
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