Spannungsteilerregel

Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung aus passiven elektrischen Zweipolen, durch die eine elektrische Spannung aufgeteilt wird.

Im Bezug zu magnetischen Kreisen wird der Begriff Spannungsteiler auch verwendet, um die Aufteilung der magnetischen Spannung (Durchflutung) entlang von magnetischen Widerständen zu beschreiben.

Einfacher Spannungsteiler mit zwei ohmschen Widerständen

Spannungsteiler aus zwei in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen

Im Allgemeinen ist mit Spannungsteiler dessen einfachste Form gemeint, die aus der Reihenschaltung von zwei ohmschen Widerständen besteht. Zur Berechnung der Teilspannung U₂ über R₂ wird zunächst der Gesamtwiderstand nach der Regel für Reihenschaltungen wie folgt berechnet:

R_ges = R₁ + R₂

Die Gesamtspannung sowie die Werte der Widerstände sind im Allgemeinen bekannt, wodurch sich nach dem Ohmschen Gesetz der Strom I bestimmen lässt:

$I = \frac{U}{R_{ges}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$

Nach den Regeln für Reihenschaltungen ist der Strom durch alle Bauteile identisch und somit ergibt sich das gesuchte U₂ zu:

$U_2 = I \cdot R_2$

Wird die Formel für den gemeinsamen Strom hier eingesetzt, ergibt sich die Ausgangsspannung in Abhängigkeit von den Teilerwiderständen und der Eingangsspannung. Durch Äquivalenzumformung weiter verallgemeinert folgt das Verhältnis zwischen Ein- und Ausgangsspannung in Abhängigkeit von den Teilerwiderständen.

$U_2 = \frac{U}{R_1 + R_2} \cdot R_2 = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \Leftrightarrow \frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Spannungsteilerregel

Mit Hilfe der Spannungsteilerregel können Teilspannungen direkt aus den Teilwiderständen und der Gesamtspannung berechnet werden. Die letzte Gleichung für die vorangegangene Schaltung stellt den Spezialfall der Spannungsteilerregel für genau zwei Teilwiderstände dar. Die Spannungsteilerregel ist nur anwendbar, wenn alle Bauelemente, auf die sich die Gesamtspannung aufteilt, linear und passiv sind. Sobald aktive Bauelemente wie Quellen vorkommen, muss auf das Knotenpotentialverfahren oder Maschenstromverfahren zurück gegriffen werden.

Verbal lautet die Spannungsteilerregel:

$\tfrac{\mbox{Teilspannung}}{\mbox{Gesamtspannung}} = \tfrac{\mbox{Widerstand unter Teilspannungsabfall}}{\mbox{Gesamtwiderstand}}$

Verallgemeinert auf n in Reihe geschaltete Widerstände (i = 1...n) ergeben sich für die Teilspannung über den Widerstand k die nachfolgenden Gleichungen für die jeweiligen Anwendungsfälle (mit n und k ganzzahlig, n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n). Widerstände in Parallelschaltungen müssen zunächst zu einem Widerstand zusammengefasst werden, um den Gleichungen in der dargestellten Form zu entsprechen. Der Gesamtwiderstand bezieht sich nur auf die Widerstände, über die die Gestamtspannung abfällt. Eventuelle Widerstände, die vor, nach oder in parallelen Zweigen zum betrachteten Abschnitt liegen, werden nicht berücksichtigt. Bei Schaltungen mit inneren parallelen Verzweigungen muss die Formel eventuell mehrmals angewendet werden, um die gesuchte Teilspannung zu erhalten.

Gleichspannungsfall

Spannungsteiler mit ohmschen Widerständen

Bei Gleichspannung treten nur reellwertige Widerstandwerte, so genannte ohmsche Widerstände auf.

$\frac{U_k}{U} = \frac{R_k}{R}$ mit dem Gesamtwiderstand $R = \sum_{i=1}^n R_i$

Bei Gleichspannung sind die einzelnen Teilspannungen immer kleiner als die Gesamtspannung. Das Verhältnis von Teilspannung zur Gesamtspannung nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Typisches Beispiel eines einstellbaren Spannungsteiler ist ein Potentiometer, bei dem über einen verschiebbaren Kontakt auf einem durchgehenden Widerstandskörper das Teilungsverhältnis variabel eingestellt werden kann. Teilspannungen verhalten sich proportional zu den Widerständen, über die sie abfallen. Das bedeutet, je kleiner (größer) der Widerstand ist, desto kleiner (größer) ist die Teilspannung.

Wechselspannungsfall

Bei harmonischer Wechselspannung mit einer konstanten Kreisfrequenz ω können zusätzlich komplexe Widerstände, so genannte Impedanz, in Form von Kapazitäten (kapazitiver Spannungsteiler) und Induktivitäten (induktiver Spannungsteiler) auftreten. Die Berechnung eines Spannungsteilers ist dann ein Teil der komplexen Wechselstromrechnung.

$\frac{U_k}{U} = \frac{Z_k}{Z}$ mit der Gesamtimpedanz $Z = \sum_{i=1}^n Z_i$

Bei Wechselspannung und den auftreten Impedanzen können durch die Energiespeicherung in den Impedanzen die Teilspannungen an den Kapazitäten und Induktivitäten durch Resonanz größer als die Gesamtspannung werden. Wichtig ist bei der Anwendung der Spannungsteilerregel mit Wechselspannung, dass die Impedanzen, insbesondere Induktivitäten, untereinander über ihre im elektrischen bzw. magnetischen Feld gespeicherte Energie nicht gekoppelt sind. Dieser Umstand ist gleichbedeutend mit der Forderung von passiven Zweipolen welche keine Spannungs- oder Stromquellen aufweisen.

Magnetische Kreise

In magnetischen Kreisen teilt sich die magnetische Spannung nur auf magnetische Widerstände auf.

$\frac{U_{m_k}}{U_m} = \frac{R_{m_k}}{R_m}$ mit dem Gesamtwiderstand $R_m = \sum_{i=1}^n R_{m_i}$

Beispiele

Beispiel mit mehrfacher Anwendung

Spannungsteiler mit einer inneren Verzweigung

Gesucht wird die Spannung über R₂₁ in der nebenstehenden Schaltung. Auf Grund der verschachtelten Lage des Widerstandes ist eine mehrfache Anwendung der Spannungsteilerregel notwendig. Dazu wird zunächst die Spannung U₂ über der Parallelschaltung berechnet. Die Spannungsteilerregel ergibt die Gleichung:

$\frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

mit $\,R_2 = \left(R_{21} + R_{22} \right) \parallel R_{23}$

Die Teilspannung U₂ teilt sich auf die Reihenschaltung aus R₂₁ und R₂₂ auf. Durch nochmalige Anwendung der Spannungsteilerregel, wird die Spannung über R₂₁ abhängig von U₂ ermittelt:

$\frac{U_{21}}{U_2} = \frac{R_{21}}{R_{21} + R_{22}}$

Werden beide Gleichungen miteinander multipliziert, ergibt sich eine Gesamtgleichung in der U₂₁ direkt von U abhängig ist:

$\frac{U_2}{U} \cdot \frac{U_{21}}{U_2} = \frac{U_{21}}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{R_{21}}{R_{21} + R_{22}}$

Beispiel für magnetischen Kreis

magnetischer Spannungsteiler aus zwei Widerständen

In magnetischen Kreisen wird die Regel genauso angewendet. Für die Teilspannungen über $R_{m_\text{Fe}}$ und $R_{m_\text{Air}}$ ergeben sich die Gleichungen:

$\frac{U_{m_\text{Fe}}}{\Theta} = \frac{R_{m_\text{Fe}}}{R_m}$

bzw. für den anderen Zweig

$\frac{U_{m_\text{Air}}}{\Theta} = \frac{R_{m_\text{Air}}}{R_m}$

mit dem Gesamtwiderstand:

$R_m = R_{m_\text{Fe}} + R_{m_\text{Air}}$

Belasteter Spannungsteiler

Belasteter Spannungsteiler mit Lastwiderstand R_L parallel zu R₂

In der Schaltung im Abschnitt Einfacher Spannungsteiler mit zwei ohmschen Widerständen sei an den Anschlüssen von R₂ der Ausgang. Wird dort ein Verbraucher mit dem Widerstand R_L parallel zu R₂ angeschlossen, entsteht ein belasteter Spannungsteiler, für den die Spannungsberechnungen neu durchgeführt werden müssen. Der Widerstand der Parallelschaltung R_P aus R₂ und R_L ist kleiner als der kleinste Teilwiderstand der Parallelschaltung. Er wird berechnet mit:

$R_P = R_2 \parallel R_L = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L}$

Infolge der Verringerung des Widerstands sinkt nach der Spannungsteilerregel die Spannung U₂ proportional dazu. Sie ergibt sich nun zu:

$U_2 = \frac{R_P}{R_1 + R_P} \cdot U$

Ersatzspannungsquelle bzw. Thévenin-Äquivalent

Zur Verdeutlichung des Einflusses des Lastwiderstandes, kann die ursprüngliche Schaltung ohne R_L in eine Zweipolersatzschaltung mit einer Ersatzspannungsquelle U_2,LL und einem Innenwiderstand R_i umgerechnet werden. Nach den Regeln zur Berechnung von Ersatzschaltungen für aktive Zweipole ergeben sich für dieses Beispiel die folgenden Gleichungen:

$U_{2,LL} = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

$R_i = R_1 \| R_2 = \frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Der Lastwiderstand bleibt von der Umstellung unbeeinflusst und seine Wirkung auf die Ausgangsspannung des Spannungsteilers tritt deutlich hervor. Es entsteht nun ein einfacherer Spannungsteiler aus R_i und R_L.

$U_2 = U_{2,LL} \cdot \frac{R_L}{R_i + R_L}$

Mit Hilfe von R_i lässt sich eine Empfehlung zur geeigneten Wahl der Widerständen ausdrücken. Damit der Lastwiderstand einen geringen Einfluss auf die Ausgangsspannung hat sollte der Innenwiderstand einen deutlich kleineren Wert als die Last aufweisen.

$R_i << R_L \Rightarrow R_i < \frac {1}{10} \cdot R_L$

Anwendung

Die Anwendungsbeispiele überschneiden sich mit den Anwendungen von Potentiometern (einstellbare Spannungsteiler). Spannungsteiler werden verwendet:

• zur Pegelanpassung
• in Dämpfungsgliedern, z. B. auch zur Lautstärkeregelung
• zur Spannungsmessung; Vielfachmessgeräte besitzen einen umschaltbaren Spannungsteiler für die Messung in verschiedenen Bereichen.
• in Messspitzen für Oszilloskope: hier sind meist Spannungsteiler mit Teilerverhältnissen von 10 zu 1 oder 100 zu 1 zu finden. Diese Messspitzen (engl. probes) besitzen zusätzlich zum Widerstands-Spannungsteiler eine Frequenzkompensation, die die Leitungs- und Eingangskapazität bei Wechselspannungsmessungen ausgleicht. Die Kompensation ist oft einstell- bzw. abgleichbar. Sie stellt einen parallel liegenden kapazitiven Spannungsteiler dar.
• zur Hochspannungsmessung (Hochspannungs-Messspitzen bzw. -tastköpfe); Teilerverhältnisse von 1000:1 oder größer. Eingangsspannungen bis etwa 40 kV sind gängig. Der obere Teilwiderstand beträgt ca. 1…100 GOhm, oft ist der Eingangswiderstand des Messgerätes (z. B. 1 oder 10 MOhm) berücksichtigt. Hochspannungs-Messspitzen gibt es unkompensiert für Gleichspannungsmessungen, aber auch frequenzkompensiert für Wechselspannungsmessungen.
• induktive und resistive Spannungsteiler werden zur Positions- und Winkelbestimmung sowie in Beschleunigungsaufnehmern verwendet. Die hierbei eingesetzten induktiven Spannungsteiler arbeiten ohne Kontakte mit einem verschiebbaren weichmagnetischen Kern wie ein doppeltes Variometer.
• induktive Spannungsteiler liefern in der Messtechnik hochpräzise Spannungsverhältnisse, die fast ausschließlich vom Windungszahlenverhältnis des verwendeten Transformators abhängig sind. Induktive Spannungsteiler sind sowohl mit festen Spannungsverhältnissen als auch als einstellbare Dekaden im Einsatz.
• zur Erstellung einer Brückenschaltung durch Kombinierung von Spannungsteilern.

Siehe auch

• Stromteiler

Literatur

• Reinhold Pregla: Grundlagen der Elektrotechnik. 7. Auflage. Hüthig Verlag, 2004, ISBN 3-7785-2867-X. 
• Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik. 13. Auflage. Verlag Technik, 1991, ISBN 3-341-00980-9. 
• Heinz Meister: Elektrotechnische Grundlagen. 9. Auflage. Vogel Fachbuchverlag, 1991, ISBN 3-8023-0528-0. 

Weblinks

• Rechner für belasteten und unbelasteten Spannungsteiler
• Das Elektronik-Kompendium: Spannungsteiler
• Spannungsteiler mit Offset
• Übungsaufgaben zur Spannungsteilerregel