Spannungstensor

Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der die mechanischen Spannungen an einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt.

Verwendet wird dieser Tensor vor allem in der Physik (Festkörperphysik, Spannungs- und Klassische Mechanik, teilweise Geophysik) und in der Elektrodynamik.

Definition

In einer gedachten Schnittfläche durch die Materie übt die in Gedanken weggeschnittene Materie auf die verbliebene Materie eine Spannung aus, die sich als Spannungsvektor aus einer Normalspannungskomponente (rechtwinklig zur Schnittfläche wirkend) und zwei Schubspannungskomponenten (in der Schnittfläche wirkend) zusammensetzt.

Am jeweiligen Ort schneiden sich drei solche gedachten Schnittflächen, und die drei Spannungsvektoren in ihnen werden zum Spannungstensor zusammengefasst:

$\underline{\underline{\sigma}} = \sum_{i,j=1}^{3} \sigma^{ij} \,\underline{e}_i \otimes \underline{e}_j$.

Dabei bezeichnen $\underline{e}_1, \underline{e}_2, \underline{e}_3$ die Basisvektoren des Koordinatensystems und $\otimes$ das dyadische Produkt (Tensorprodukt zweier Vektoren).

In Matrizenschreibweise wird der Spannungstensor allgemein in folgender Form angegeben:

$S = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z} \end{bmatrix}$

Der Spannungstensor am Volumenelement

Folgende Skizze verdeutlicht dies am Beispiel eines herausgeschnittenen sehr kleinen Volumenelements für kartesische Koordinaten; die Betrachtungen gelten für die rechte obere hintere Ecke:

In einer konkreten Schnittfläche, deren Orientierung durch ihren nach außen gerichteten Normalenvektor $\underline{n}$ beschrieben wird, ergibt sich der Spannungsvektor $\underline{s}$, indem man den Spannungstensor mit dem Normalenvektor skalarmultipliziert:

$\underline{s} = \underline{\underline{\sigma}}^T \cdot \underline{n}$

bzw. für einen symmetrischen Spannungstensor:

$\underline{s} = \underline{\underline{\sigma}} \cdot \underline{n}$.

Trivia

Etymologisch ist das Wort ein Pleonasmus, da bereits der Wortstamm Tensor auf das lateinische Wort tensio für „Spannung“ zurückgeht.

Siehe auch

 Portal:Physik – Übersicht zu Wikipedia-Inhalten zum Thema Physik
 Portal:Technik – Übersicht zu Wikipedia-Inhalten zum Thema Technik

• Kontinuumsmechanik
• Druck, die Vereinfachung des Spannungstensors
• Maxwell'scher Spannungstensor