Sqrt(2)

Unter Wurzel 2 (Quadratwurzel aus 2) versteht man in der Mathematik diejenige positive Zahl, deren Quadrat die Zahl 2 ergibt, also die Zahl x > 0, für die x² = 2 gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, irrational und wird durch $\sqrt2$ dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind: $\sqrt2$ = 1,414213562…

Allgemeines

Irrationalität der Wurzel 2

Euklid von Alexandria

Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die Kreiszahl (π) oder die eulersche Zahl irrational; im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen Hippasos von Metapont die Irrationalität bekannt. Der bekannteste Beweis dafür stammt von dem im 4. Jahrhundert v. Chr. lebenden Griechen Euklid. Er gilt als der erste bekannte Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik. Auch der Grieche Platon soll einen Beweis geliefert haben.

Nachkommastellen der Wurzel 2

Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch im Dezimalsystem nur näherungsweise darstellen. Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten:

$\sqrt2$ = 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 …

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl π – periodisch, denn Wurzel 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Für die n-te Wurzel aus 2 und für n > 2 trifft dies jedoch nicht zu.

$\sqrt{2} = [1;\, 2,\, 2,\, 2,\, 2,\, 2,\, \ldots]$

Geometrische Konstruktion von Wurzel 2

Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl $\sqrt{2}$ mit Zirkel und Lineal zu konstruieren: Die Diagonale eines Quadrates ist $\sqrt2$ mal so lang wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann $\sqrt2$ Einheiten. Um dies zu beweisen reicht der Satz des Pythagoras: Für die Länge x der Diagonale gilt x² = 1² + 1².

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der Quadratwurzelspirale.

Geschichte der Wurzel 2

Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen $\sqrt2 \approx \tfrac{577}{408}$ = 1,414215686…  . Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von $\sqrt2$ überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer Keilschrift ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit:

$1\cdot 60^0 + 24\cdot 60^{-1} + 51\cdot 60^{-2} + 10\cdot 60^{-3} = \tfrac{30547}{21600}$ = 1,414212962…  ^[1]

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von $\sqrt{2}$ überein, die Abweichung beträgt nur -0,0000424 Prozent.

Um 500 v. Chr. entdeckte Hippasus aus Metapontum, ein Schüler von Pythagoras und Mitglied des Geheimbundes der Pythagoräer, dass das Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale am Pentagramm nicht mit ganzen Zahlen darzustellen ist. Er hat somit die erste irrationale Zahl (noch vor Pi) entdeckt. Die Pythagoräer, die ein auf rationale Zahlen gegründetes Weltbild hatten, sollen ihn darauf bei einer Seefahrt über Bord geworfen haben. Hippasos veröffentlichte jedoch zuvor seine Entdeckung.

Sonstiges

• 1994 errechnete Robert Nemiroff die ersten fünf Millionen Nachkommastellen der Wurzel 2.^[2]
• Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im DIN A-Format beträgt  $\frac{1}{\sqrt{2}}$  mit Rundung auf ganze Millimeter und entgegen verbreiteter Annahme nicht dem Goldenen Schnitt  $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . Dadurch ist sichergestellt, dass bei Halbierung des Blattes entlang der längeren Seite wieder ein Blatt im DIN A-Format (mit um 1 erhöhter Nummerierung) entsteht.
• Die Wurzel aus 2 ist das Frequenzverhältnis zweier Töne in der Musik bei gleichschwebender Stimmung, die einen Tritonus, also eine halbe Oktave bilden.

Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen der Wurzel 2

Die ersten vier Zweierblöcke 14, 14, 21 und 35 der dezimalen Nachkommastellen von Wurzel 2 sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch sieben teilbar. Die vier darauffolgenden Ziffern lassen sich in die durch sieben teilbaren Blöcke 623 und 7 aufteilen.

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.do.nw.schule.de/mbr/2020/geschichte.htm
2. ↑ http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.5mil