Formelsammlung Analytische Geometrie

$\sqrt[n]{x}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Analytische Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten x₁ (gleichwertig zu x), x₂ (gleichwertig zu y), x₃ (gleichwertig zu z) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch $\cdot$ ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch $\times$.

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene

Bezeichnungen

Im Folgenden habe der Punkt P die Koordinaten (p₁,p₂); die Punkte A,B,C in dieser Reihenfolge (a₁,a₂),(b₁,b₂),(c₁,c₂)

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

P(p₁ | p₂) oder P(p₁,p₂)

Ortsvektor des Punktes P(p₁ | p₂):

$\overrightarrow{P} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix}$

Verbindungsvektor zweier Punkte A,B:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}$

Mittelpunkt der Strecke AB (als Ortsvektor):

$\overrightarrow{M} = \tfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right) = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$

Teilungspunkt : Der Punktes, der die Strecke AB im Verhältnis λ teilt:

$\overrightarrow{T} = \frac{1}{1+\lambda} \left( \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{B} \right) = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix}a_1+\lambda b_1\\a_2+\lambda b_2\end{pmatrix}$

Schwerpunkt eines Dreiecks ABC:

$\overrightarrow{S} = \tfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \right) = \tfrac{1}{3} \begin{pmatrix}a_1+b_1+c_1\\a_2+b_2+c_2\end{pmatrix}$

Geraden

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt A(a₁ | a₂) mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$:

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$

Der Parameter λ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte A,B:

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right) = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}$

Der Parameter λ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\end{pmatrix}$ in vektorieller Schreibweise:

$\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0$ bzw. $\begin{pmatrix}n_1\\n_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\end{pmatrix} = 0$

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung m durch den Punkt (0 | t) der x₂-Achse:

$\, x_2 = m x_1 + t$

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur x₂-Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte (s | 0) (auf der x₁-Achse) und (0 | t) (auf der x₂-Achse):

$\frac{x_1}{s} + \frac{x_2}{t} = 1$

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d.h. es muss $s \ne 0$ und $t \ne 0$ gelten.

Abstände

Abstand der Punkte A,B:

$\overline{AB} = \left| \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$

Abstand des Punktes P von der Geraden g mit der Normalengleichung n₁x₁ + n₂x₂ + n₀ = 0 (siehe Hessesche Normalform):

$d(P,g) = \frac{\left|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_0\right|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}$

Abstand zweier paralleler Geraden g und g' mit den Normalengleichungen n₁x₁ + n₂x₂ + n₀ = 0 bzw. n₁x₁ + n₂x₂ + n₀' = 0:

$d(g,g') = \frac{\left| n_0 - n_0' \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2}}$

Winkel

Schnittwinkel (kleinster Winkel) $\epsilon$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ (vergleiche Skalarprodukt):

$\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right| \left| \overrightarrow{v} \right|} = \frac{\left| u_1 v_1 + u_2 v_2 \right|}{\sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2} \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2}}$

Flächen

Fläche des Dreiecks ABC (siehe Kreuzprodukt):

$\begin{align} F_{ABC} & = \tfrac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \tfrac{1}{2} \left| \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right) \times \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \right) \right| \\ & = \tfrac{1}{2} \left| (a_1 b_2 - a_2 b_1) + (b_1 c_2 - b_2 c_1) + (c_1 a_2 - c_2 a_1) \right| \end{align}$

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken $P_1(p_{11}|p_{12}), \ldots, P_n(p_{n1}|p_{n2})$:

$\begin{align}A = \Big| \tfrac{1}{2} \cdot & \left( p_{11} p_{22} + p_{21} p_{32} + \ldots + p_{n-1,1} p_{n2} + p_{n1} p_{12} \right.\\ & - \left. p_{21} p_{12} - p_{31} p_{22} - \ldots - p_{n1} p_{n-1,2} - p_{11} p_{n2} \right)\Big| \end{align}$

Kreise

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

• des Einheitskreises

${x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$

• allgemein: Mittelpunkt in (c,d), Radius r

$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2\,$

in Parameterform (allgemein):

$\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\,\cos t+c\\ r\,\sin t+d \end{pmatrix}$ mit $0 \le t \le 2 \pi$

Gleichung des Kreises durch drei Punkte P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),P₃(x₃,y₃)

$\begin{vmatrix}x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}=0$

Gleichung der Kreistangente im Punkt B(b₁ | b₂)

• Einheitskreis

  $\, b_1 x_1 + b_2 x_2 = 1$

• Allgemein:

  $(x-c)(b_1-c)+(y-d)(b_2-d)=r^2\,$

Schnittpunkt der Geraden y = mx + c mit dem Kreis x² + y² = r²:

$x_{1,2}=-\frac{bm}{1+m^2}\pm\frac1{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-b^2}$

$y_{1,2}=\frac{bm}{1+m^2}\pm\frac{m}{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-b^2}$

Kegelschnitte

Kegelschnitt	Ellipse	Hyperbel	Parabel
Eigenschaften
Definition: Menge aller Punkte, für die …	die Summe der Abstände zu den Brennpunkten F1,F2 konstant gleich 2a ist.	die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist.	der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
Lineare Exzentrität	$\sqrt{a^2-b^2}$	$\sqrt{a^2+b^2}$	--
Koordinaten
Kartesische Koordinaten	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	$y^2 = 2px\,$
Achsenparallele Lage M(c,d)	$\frac{(x-c)^2}{a^2} + \frac{(y-d)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(x-c)^2}{a^2} - \frac{(y-d)^2}{b^2} = 1$	$(y-d)^2 = 2p(x-c)\,$
Parameterform	$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\,\cos t\\ b\,\sin t \end{pmatrix}$ mit $0 \le t \le 2 \pi$	$x=\frac a{\cos(t)};\;y=\pm b\tan(t)$ $x=\pm a\cosh(t);\; y=b\sinh(t)$
Geraden
Tangente in P1(p1,p2)	$\frac{xp_1}{a^2}+\frac{yp_2}{b^2}=1$	$\frac{xp_1}{a^2}-\frac{yp_2}{b^2}=1$	$yp_2=p(y+p_2)\,$
Normale durch P1(p1,p2)	$y-p_2=\frac{a^2p_2}{b^2p_1}(x-p_1)$	$y-p_2=-\frac{a^2p_2}{b^2p_1}(x-p_1)$	$y-p_2=-\frac{p_2}p(x-p_1)$
Schnittpunkt mit der Geraden y = mx + C	$x_{1,2}=a^2m\alpha\pm \beta\cdot\sqrt{D}$ $y_{1,2}=b^2\alpha\pm m\beta\cdot\sqrt{D}$ $\alpha:=\frac{C}{b^2+a^2m^2};\beta:=\frac{ab}{b^2+a^2m^2};$ $D:=a^2m^2+b^2-C^2\,$	$x_{1,2}=a^2m\alpha\pm\beta\cdot\sqrt{D}$ $y_{1,2}=b^2\alpha\pm m\beta\cdot\sqrt{D}$ $\alpha:=\frac{C}{b^2-a^2m^2};\beta:=\frac{ab}{b^2-a^2m^2}$ $D:=b^2+c^2-a^2m^2\,$	$x_{1,2}=\frac{p-Cm}{m^2}\pm\frac1{m^2}\cdot\sqrt{D}$ $y_{1,2}=\frac pm\pm\frac1m\cdot\sqrt{D}$ $D:=p\cdot(p-2mC)$
Flächeninhalt

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes

Bezeichnungen

Im Folgenden haben die Punkte X,P,A,B,C in dieser Reihenfolge die Koordinaten (x₁,x₂,x₃),(p₁,p₂,p₃),(a₁,a₂,a₃),(b₁,b₂,b₂),(c₁,c₂,c₃).

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

P(p₁ | p₂ | p₃)

Ortsvektor

$\overrightarrow{P} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$

Verbindungsvektor zweier Punkte AB:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}$

Mittelpunkt der Strecke AB:

$\overrightarrow{M} = \tfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right) = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}$

Teilungspunkt , der die Strecke AB im Verhältnis λ teilt:

$\overrightarrow{T} = \frac{1}{1+\lambda} \left( \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{B} \right) = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix}a_1+\lambda b_1\\a_2+\lambda b_2\\a_3+\lambda b_3\end{pmatrix}$

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken A,B,C:

$\overrightarrow{S} = \tfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \right) = \tfrac{1}{3} \begin{pmatrix}a_1+b_1+c_1\\a_2+b_2+c_2\\a_3+b_3+c_3\end{pmatrix}$

Geraden

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$:

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$

Der Parameter λ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Ebenen

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt A mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Die Parameter λ und μ können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ müssen linear unabhängig sein (d.h. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \neq 0$ und $\overrightarrow{u}$ ist kein skalares Vielfaches von $\overrightarrow{v}$)

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte A,B,C:

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right) + \mu \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \right) = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}$

Die beiden Parameter λ und μ können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt A mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \neq 0$ in vektorieller Schreibweise:

$\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0$ bzw. $\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{pmatrix} = 0$

Koordinatengleichung

$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ mit a, b, c nicht alle gleich 0.

Überführen der Formen ineinander

• Parameterform in Normalenform:

  $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$

• Normalenform und Koordinatengleichung:

  Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit: a = n₁, b = n₂, c = n₃ und d = n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃.

• Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:

  $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda\overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}$ definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach λ und eine andere nach μ auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.

• Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:

  Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da a, b, c nicht alle gleich 0 sind (sagen wir $c \neq 0$) lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen: $x_3(x_1,x_2) = \tfrac{1}{c}\left(d - ax_1 - bx_2\right)$. Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander (x₁,x₂) = (0,0), (x₁,x₂) = (1,0) und (x₁,x₂) = (0,1) einsetzt. D.h. explizit setzt man

  $\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x_3(0,0) \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ x_3(1,0) \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ x_3(0,1) \end{pmatrix}$

  in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.

Abstände

Abstand der Punkte A,B

$\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert = \left| \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

Abstand des Punktes P von der Ebene $\epsilon$ mit der Normalengleichung n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₀ = 0 (siehe Hessesche Normalform):

$d(P,\epsilon) = \frac{\left|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 + n_0\right|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}$

Abstand der parallelen Ebenen $\epsilon$ und $\epsilon'$ mit den Normalengleichungen n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₀ = 0 bzw. n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₀' = 0:

$d(\epsilon,\epsilon') = \frac{\left| n_0 - n_0' \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2}}$

Winkel

Schnittwinkel (kleinster Winkel) $\epsilon$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$:

$\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right| \left| \overrightarrow{v} \right|} = \frac{\left| u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \right|}{\sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2}}$

Schnittwinkel $\epsilon$ zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und einer Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$:

$\sin \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\left| n_1 u_1 + n_2 u_2 + n_3 u_3 \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2} \sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2}}$

Schnittwinkel $\epsilon$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{m}$ und $\overrightarrow{n}$:

$\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{m} \right| \left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{\left| m_1 n_1 + m_2 n_2 + m_3 n_3 \right|}{\sqrt{{m_1}^2 + {m_2}^2 + {m_3}^2} \sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2}}$

Volumina

Volumen des Tetraeders P₀P₁P₂P₃ (vergleiche Spatprodukt): ($\vec a := \overrightarrow{P_0P_1}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_0P_2} \ , \ \vec c := \overrightarrow{P_0P_3}$)

$V= \Big| \frac{1}{6} [ \vec a, \vec b, \vec c ]\Big| = \Big| \frac{1}{6} \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}\Big|$

Kugel

Kartesische Koordinaten

• Einheitskugel:

  ${x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 1$

• Allgemein: (Mittelpunkt: (a,b,c))

  (x₁ − a)² + (x₂ − b)² + (x₃ − c)² = r²

Parameterform (im Ursprung)

$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\,\sin\vartheta \cos\varphi\\ r\,\sin\vartheta \sin\varphi\\ r \cos\vartheta \end{pmatrix}$ mit $0 \le \vartheta \le \pi$ und $0 \le \varphi \le 2\pi$

Flächen zweiter Ordnung

Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c; Mittelpunkt im Ursprung; Halbachsen parallel zur x₁, x₂ bzw. x₃-Achse:

$\frac{{x_1}^2}{a^2} + \frac{{x_2}^2}{b^2} + \frac{{x_3}^2}{c^2} = 1$

Hyperboloid Halbachsen a,b,c

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=1$

Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:

$\frac{x_1^2}{a^2}\pm\frac{x_2^2}{b^2}-2z=0$

Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.

Kegel mit a,b Halbachsen der Ellipse, Spitze im Ursprung:

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=0$