Stationärer Punkt

Eine stetig differenzierbare Abbildung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in eine andere besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist. Anderenfalls handelt es sich um einen regulären Punkt.

Definition

Es sei $U \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $f : U \rightarrow \mathbb{R}^m$ eine Funktion. Ein Punkt $x_0 \in U$ heißt kritischer oder stationärer Punkt von f, genau dann wenn $\operatorname{D} f(x_0)$ nicht surjektiv ist, d.h. wenn $\operatorname{rang}(\operatorname{D} f(x_0))\le m$ gilt, wobei $\operatorname{D}$ das totale Differential bezeichnet.

Beispiel

Eine stetig differenzierbare reellwertige Abbildung in drei Variablen besitzt genau dann einen kritischen Punkt, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

$\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \\ \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix} = 0$

Entartung

Im Falle einer reellwertigen Funktion kann mit Hilfe der Hesse-Matrix festgestellt werden, ob es sich um einen entarteten kritischen Punkt handelt. Dieses ist genau dann der Fall, wenn die Hesse-Matrix singulär, also nicht invertierbar, ist. Mit Funktionen ohne entartete kritische Punkte beschäftigt sich die Morse-Theorie.

Falls keine Entartung vorliegt, kann bei reellwertigen Funktionen auch festgestellt werden, ob es sich um ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt der Funktion handelt.

Siehe auch

• Regulärer Wert