Statisch unbestimmt

Ein statisches System (Körper, Tragwerk, Stabtragwerk) ist statisch bestimmt gelagert, wenn die Anzahl seiner Lagerreaktionen (Auflagerbedingungen) der Anzahl seiner Freiheitsgrade entspricht und die Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der äußeren Belastung berechnet werden können. Das gilt auch für alle Schnittgrößen an beliebigen Teilsystemen.

Alle anderen Systeme sind statisch unbestimmt.

Gleichgewichtsbedingungen

Zur Berechnung aller statisch bestimmten Systeme genügen als Hilfsmittel die Gleichgewichtsbedingungen:

• Bei ebener Statik die drei Gleichgewichtsbedingungen Summe V=0, Summe H=0, Summe M=0;
• Bei räumlicher Statik die sechs Gleichgewichtsbedingungen Summe X=0, Summe Y=0, Summe Z=0, Summe Mx=0, Summe My=0, Summe Mz=0.

Grad der statischen Unbestimmtheit

Mit folgender Formel lässt sich für 2-dimensionale, ebene Systeme ermitteln ob diese instabil, bestimmt oder unbestimmt sind.

         n = a+z-3s

Hierbei sind:

   a: Anzahl der Auflagerreaktionen
   s: Anzahl der Stäbe
   z: Anzahl der Zwischenlagerreaktionen (bspw Knoten der Normal- und Querkräfte überträgt aber kein Moment => 2 Reaktionen)

• für n<0 gilt: instabil
• für n=0 gilt: statisch bestimmt
• für n>0 gilt: statisch unbestimmt, n ist der Grad der statischen Unbestimmtheit

Zusätzliche Schnittgrößen

Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager, Temperaturdehnungen, Kriechen und Schwinden des Betons verursachen in statisch bestimmten Systemen keine zusätzlichen Schnittgrößen. In statisch unbestimmten Systemen allerdings entstehen normalerweise immer zusätzliche Schnittgrößen und Spannungen. Um diese Systeme berechnen zu können, muss man Formänderungen und Steifigkeiten der Stäbe mit in die Betrachtungen einbeziehen.

Innere und äußere statische Bestimmtheit

Bei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmäßig und anschaulich, zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit oder Unbestimmtheit zu unterscheiden. Ein System oder Systemteil heißt äußerlich statisch bestimmt, falls die äußeren Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können. Ein System heißt innerlich statisch bestimmt, falls die Schnittgrößen (Reaktionen) an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können.

Beispiele

Einfache statisch bestimmte Systeme sind:

• Einfeldträger (Träger auf zwei Stützen)
• Träger auf zwei Stützen mit überkragendem Ende
• Kragträger
• Dreigelenkrahmen
• Dreigelenkbogen
• Gerberträger

Einfache statisch unbestimmte Systeme sind:

• Durchlaufträger

(je nach Anzahl der überspannten Felder und der Auflagerbedienungen kann ein Durchlaufträger auch mehrfach statisch unbestimmt sein!)

Beispiele für ein äußerlich bestimmtes, innerlich aber unbestimmtes System:

• Rahmenfachwerkträger
• Vierendeelträger

Siehe auch:

• Balkentheorie
• Lagerung (Mechanik)
• Stab (Statik)
• Statik (Physik)
• Statische Berechnung
• Dreibein