Stieltjes'scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker T. J. Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Stieltjes’schen Integral verallgemeinern kann.

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring $\mathcal{J}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb{R}, a\le b\}$ über R definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann (Vgl. Elsrodt II.1.6), ist damit auch das zugehörige Prämaß auf $\mathcal{F}:=\{\bigcup_{j=1}^n I_j : I_1,...,I_n \in \mathcal{J},I_j\cap I_k = \empty \mbox{ wenn }j\ne k\}$ bekannt.

Definition

Gegeben eine wachsende Funktion $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, so nennt man $\mu_F : \mathcal {J} \rightarrow \mathbb {R}, \mu_F(]a,b]):=F(b)-F(a), (a\le b)$ den zu F gehörenden Stieltjes'schen Inhalt.

Aussehen des Inhalts

Ist $\mu: \mathcal{J}\rightarrow \mathbb{R}$ ein endlicher Inhalt und wird $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch $F(x):=\begin{cases} \mu (]0,x]), & \mbox{wenn }x \ge 0 \\ - \mu (]x,0]), & \mbox{wenn }x<0 \end{cases}$, so gilt μ = μ_F.

Damit hat also der Stieltjes’sche Inhalt obige Form.

Prämaß

Man ist oft daran interessiert, statt einem Inhalt ein Prämaß zu erhalten, da es eine größere Urbildmenge hat. Ist der Stietlje’sche Inhalt also ein Prämaß? Das ist genau dann der Fall, wenn F rechtsstetig ist.

Stieltjes’sches Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Stieltjes’schen Integral $\int_{a}^{b} g(x)\ \mathrm{d}F(x)$ erweitern. (Vgl. Walter)

Für F=id ist das Stieltjes’sche Integral gerade gleich dem Riemann’schen.

Literatur

• W. Walter: Grundwissen-Band Analysis II. 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. korrigierte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II § 2, S. 37.