Sprungstetigkeit

Unter einer sprungstetigen Funktion oder Regelfunktion versteht man in der Mathematik eine Funktion, deren einzige Unstetigkeitsstellen Sprungstellen sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Integrationstheorie. Die Bezeichnung „Regelfunktion“ (fonction réglée) wurde von der französischen Mathematiker-Schule eingeführt.

Definition

Es sei I = [a,b] ein kompaktes Intervall und E ein Banach-Raum.

Existieren für $f \colon I \rightarrow E$ die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte für alle $x \in \left]a,b\right[$, sowie die entsprechenden in a und b, so heißt f sprungstetig (oder Regelfunktion). Die Funktion f ist also genau dann sprungstetig, wenn sie keine Unstetigkeitsstellen zweiter Art hat. Eine sprungstetige Funktion ist stückweise stetig, wenn sie nur endlich viele Stellen besitzt, an denen sie nicht stetig ist bzw. endlich viele Sprünge hat, also Stellen, bei denen es eine Folge a_n gibt, für die $\lim f(a_n)\ne f(\lim a_n)$ gilt.

Die Mengen aller sprungstetigen Abbildungen bezeichnet man als $\mathcal{S}(I,E)$, die Menge aller stückweise stetigen Funktionen $f:I \rightarrow E$ als $\mathcal{SC}(I,E)$.

Einseitige Stetigkeit

Eine Verschärfung der Sprungstetigkeit sind Linksstetigkeit und Rechtsstetigkeit.

Definition

Man nennt eine Funktion linksseitig stetig oder linksstetig am Punkt x, falls $\lim_{\epsilon\to 0}[ \mbox{ } \exists f(x-\epsilon) ]\wedge [f(x-\epsilon)=f(x)]$.

Analog heißt eine Funktion rechtsseitig stetig oder rechtsstetig am Punkt x, falls $\lim_{\epsilon\to 0}[ \mbox{ } \exists f(x+\epsilon) ]\wedge [f(x+\epsilon)=f(x)]$.

Stieltjes’scher Inhalt

Sei $\mathcal{J}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb{R}, a\le b\}$, weiterhin sei $F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ wachsend. Dann definiert F einen Stieltjes’schen Inhalt μ_F. μ_F ist genau dann ein Prämaß, falls F rechtsstetig ist.

Dies setzt voraus, dass der Halbring $\mathcal{J}$ über die links halboffenen Intervalle definiert wurde. Wählt man stattdessen die rechts halboffenen Intervalle [a,b[ und setzt man ν_F([a,b[): = F(b) − F(a), so ist ν_F genau dann ein Prämaß, wenn F linksseitig stetig ist.

Ein Stieltjes’scher Inhalt ist genau dann ein Prämaß, falls die erzeugende Funktion F rechtsstetig ist.

Fourierreihen

Entwickelt man eine stückweise stetige Funktion zu einer Fourierreihe, so führt an Unstetigkeitsstellen weder die rechtsseitige Stetigkeit noch die linksseitige Stetigkeit zur Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion.

Stattdessen wählt man an jeder Unstetigkeitsstelle x: $f(x):=\lim_{\epsilon\to 0}{f(x-\epsilon)+f(x+\epsilon) \over 2}$, man sagt, f sei normiert. Die Fourierreihe einer normierten, stückweise stetigen Funktion konvergiert gegen diese Funktion.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher, Analysis II, 1999 bei Birkhäuser, S. 4