Sprungstetige Funktion

Der Begriff der Sprungstetigen Funktion oder Regelfunktion ist ein wichtiger Begriff in der Integrationstheorie.

Definition

Es sei I: = [a,b] ein kompaktes Intervall und E ein Banachraum.

Existieren für $f:I \rightarrow E$ die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte für alle $x \in ]a,b[$, sowie die entsprechenden in a und b, so heißt f sprungstetig (oder Regelfunktion). Eine sprungstetige Funktion ist stückweise stetig, wenn sie nur endlich viele Unstetigkeitsstellen (oder Sprünge, das sind Stellen, bei denen es eine Folge a_n gibt, für die $\lim f(a_n)\ne f(\lim a_n)$ gilt) hat.

Die Mengen aller sprungstetigen Abbildungen bezeichnet man als $\mathcal{S}(I,E)$, die Menge aller stückweise stetigen Funktionen $f:I \rightarrow E$ als $\mathcal{SC}(I,E)$.

Man kann mit solchen Unstetigkeitsstellen verschieden umgehen.

Einseitige Stetigkeit

Eine Verschärfung der Sprungstetigkeit sind Linksstetigkeit und Rechtsstetigkeit.

Definition

Man nennt eine Funktion linksseitig stetig oder linksstetig, falls sie sprungstetig ist und $\forall x \mbox{ } \exists f(x-0) \wedge f(x-0)=f(x)$.

Analog heißt eine Funktion rechtsseitig stetig oder rechtsstetig, falls sie sprungstetig ist und $\forall x \mbox{ } \exists f(x+0) \wedge f(x+0)=f(x)$.

Stieltjes’scher Inhalt

Sei $\mathcal{J}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb{R}, a\le b\}$, weiterhin sei $F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ wachsend. Dann definiert F einen Stieltjes’schen Inhalt μ_F. μ_F ist genau dann ein Prämaß, falls F rechtsstetig ist.

Dies setzt voraus, dass der Halbring $\mathcal{J}$ über die links halboffenen Intervalle definiert wurde. Wählt man stattdessen die rechts halboffenen Intervalle [a,b[ und setzt man ν_F([a,b[): = F(b) − F(a), so ist ν_F genau dann ein Prämaß, wenn F linksseitig stetig ist.

Ein Stieltjes’scher Inhalt ist genau dann ein Prämaß, falls die erzeugende Funktion F rechtsstetig ist.

Fourierreihen

Entwickelt man eine stückweise stetige Funktion zu einer Fourierreihe, so führt an Unstetigkeitsstellen weder die rechtsseitige Stetigkeit noch die linksseitige Stetigkeit zur Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion.

Stattdessen wählt man an jeder Unstetigkeitsstelle x: $f(x):={f(x-0)+f(x+0) \over 2}$, man sagt, f sei normiert. Die Fourierreihe einer normierten, stückweise stetigen Funktion konvergiert gegen diese Funktion.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher, Analysis II, 1999 bei Birkhäuser, S. 4