Stumpfwinklig

Einen Winkel nennt man stumpf, falls sein Wert zwischen 90° und 180° (im Gradmaß) beziehungsweise zwischen π/2 und π (im Bogenmaß) liegt.

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei (verschiedenen) dieser Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei $S=\{v_1,v_2,...,v_k\} \subset \mathbb{R}^n$ eine Familie von Vektoren und $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das kanonische Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt $\langle v_i,v_j\rangle<0$, für $1\leq i<j\leq k$

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im $\mathbb{R}^n$ höchstens n + 1 Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von n + 1 Vektoren im $\mathbb{R}^n$ vor, so gilt für den Winkel $\varphi$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: $\varphi=\arccos(-\frac{1}{n})$. Im Fall n = 3 beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel $\tau=\arccos(-\frac{1}{3})\approx109.47^\circ$