Geobrett

Das Geobrett (oder Nagelbrett) ist ein verbreitetes Arbeitsmittel im Geometrieunterricht der Primar- und Sekundarstufe.

Selbstgefertigtes (5×5)-Geobrett mit drei als Quadrate gespannten, verschiedenfarbigen Gummibändern

Auf einem meist quadratischen Brettchen werden Nägel so eingeschlagen, dass ein quadratisches Gitter entsteht. Die Zahl der Nägel beträgt mindestens 9 (3×3-Gitter), in der Regel aber 16 (4×4-Gitter) oder 25 (5×5-Gitter) und ist nach oben nur durch eine praktikable Größe des Brettes beschränkt. Auf diesen Brettchen können mit verschiedenfarbigen Gummibändern geometrische Figuren gespannt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht werden.

Das Geobrett wurde zu Beginn der 1950er Jahre von dem ägyptischen Mathematiker und Pädagogen Caleb Gattegno erfunden.^[1]

Anwendungen

Im Mathematikunterricht findet das Geobrett hauptsächlich Anwendung bei der Untersuchung von ebenen geometrischen Figuren, bei deren Flächenberechnung sowie bei den Transformationen der Ebene.

Untersuchung von Figuren

Im Vordergrund stehen hier zum einen die Untersuchung von Symmetrieeigenschaften geometrischer Figuren, zum anderen die Bestimmung der möglichen Art oder Anzahl einfacher geometrischer Figuren, etwa die Anzahl verschiedener Dreiecke bzw. Vierecke auf einem (n×n)-Gitter (für 2 ≤ n ≤ 5):

Anzahl	(2×2)-Gitter	(3×3)-Gitter	(4×4)-Gitter	(5×5)-Gitter
Dreiecke (OEIS, A045996)	4	76	516	2148
Spitzwinklige Dreiecke (OEIS, A190019)	0 (0 %)	8 (10,5 %)	80 (15,5 %)	404 (18,8 %)
Rechtwinklige Dreiecke (OEIS, A077435)	4 (100 %)	44 (57,9 %)	200 (38,8 %)	596 (27,7 %)
Stumpfwinklige Dreiecke (OEIS, A190020)	0 (0 %)	24 (31,6 %)	236 (45,7 %)	1148 (53,4 %)
Unregelmäßige Dreiecke (OEIS, A190312)	0 (0 %)	40 (52,6 %)	368 (71,3 %)	1704 (79,3 %)
Gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A186434)	4 (100 %)	36 (47,4 %)	148 (28,7 %)	444 (20,7 %)
Spitzwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A190317)	0 (0 %)	8 (10,5 %)	48 (9,3 %)	164 (7,6 %)
Rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A187452)	4 (100 %)	28 (36,8 %)	96 (18,6 %)	244 (11,4 %)
Stumpfwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A190318)	0 (0 %)	0 (0 %)	4 (0,8 %)	36 (1,7 %)
Verschiedene (nichtkongruente) Dreiecke (OEIS, A028419)	1	8	29	79
Verschiedene spitzwinklige Dreiecke (OEIS, A190021)	0 (0 %)	2 (25 %)	8 (27,6 %)	23 (29,1 %)
Verschiedene rechtwinklige Dreiecke (OEIS, A189979)	1 (100 %)	4 (50 %)	9 (31,0 %)	17 (21,5 %)
Verschiedene stumpfwinklige Dreiecke (OEIS, A190022)	0 (0 %)	2 (25 %)	12 (41,4 %)	39 (49,4 %)
Verschiedene unregelmäßige Dreiecke (OEIS, A190313)	0 (0 %)	3 (37,5 %)	18 (62,1 %)	57 (72,2 %)
Verschiedene gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A189978)	1 (100 %)	5 (62,5 %)	11 (37,9 %)	22 (27,8 %)
Verschiedene spitzwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A190309)	0 (0 %)	2 (25 %)	5 (17,2 %)	11 (13,9 %)
Verschiedene rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A108279)	1 (100 %)	3 (37,5 %)	5 (17,2 %)	8 (10,1 %)
Verschiedene stumpfwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, A190310)	0 (0 %)	0 (0 %)	1 (3,4 %)	3 (3,8 %)

Die Anzahl der Dreiecke auf einem (n×n)-Gitter berechnet sich gemäß der Formel^[2] $\begin{array}{lcl} \#\triangle(n) & = & \binom{n^2}{3} + n \binom{n+1}{3} - 2\sum_{i=2}^n \sum_{k=2}^n(n-i+1)(n-k+1) \operatorname{ggT}(i-1,k-1) \\ & = & \frac{1}{6} (n-1)^2 n^2 (n+1)^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} (n-i)(n-k) \operatorname{ggT}(i,k) \end{array}$

Die Dreiecke lassen sich zum einen nach Winkelgrößen in die disjunkten Klassen der spitz-, recht- bzw. stumpfwinkligen Dreiecke einteilen, zum anderen nach Seitenlängen in die disjunkten Klassen der unregelmäßigen (ungleichseitigen) Dreiecke und gleichschenkligen Dreiecke – zu letzteren zählen auch die gleichseitigen Dreiecke, die auf dem Geobrett aber nicht vorkommen können.

Offensichtlich ist daher

$\# \triangle = \# \triangle_{\mathrm{spitzwinklig}} + \# \triangle_{\mathrm{rechtwinklig}} + \# \triangle_{\mathrm{stumpfwinklig}}$

$\# \triangle = \# \triangle_{\mathrm{ungleichseitig}} + \# \triangle_{\mathrm{gleichschenklig}}$

$\# \triangle_{\mathrm{gleichschenklig}} = \# \triangle_{\mathrm{spitzwinklig gleichschenklig}} + \# \triangle_{\mathrm{rechtwinklig gleichschenklig}} + \# \triangle_{\mathrm{stumpfwinklig gleichschenklig}}$

Anzahl	(2×2)-Gitter	(3×3)-Gitter	(4×4)-Gitter	(5×5)-Gitter
Vollständige Vierecke (OEIS, A175383)	1	78	1278	9498
Vierecke (OEIS, A189414)	1	94	1758	13698
Konkave Vierecke (OEIS, A189412)	0 (0 %)	24 (25,5 %)	720 (41,0 %)	6300 (46,0 %)
Pfeilvierecke (OEIS, A173502)	0 (0 %)	8 (8,5 %)	64 (3,6 %)	292 (2,1 %)
Konvexe Vierecke (OEIS, A189413)	1 (100 %)	70 (74,5 %)	1038 (59,0 %)	7398 (54,0 %)
Trapeze (OEIS, A189415)	1 (100 %)	50 (53,2 %)	490 (27,9 %)	2618 (19,1 %)
Parallelogramme (OEIS, A189416)	1 (100 %)	22 (23,4 %)	158 (9,0 %)	674 (4,9 %)
Drachen (OEIS, A189417)	1 (100 %)	10 (10,6 %)	58 (3,3 %)	222 (1,6 %)
Rauten (OEIS, A189418)	1 (100 %)	6 (6,4 %)	22 (1,3 %)	66 (0,5 %)
Rechtecke (OEIS, A085582)	1 (100 %)	10 (10,6 %)	44 (2,5 %)	130 (0,9 %)
Quadrate (OEIS, A002415)	1 (100 %)	6 (6,4 %)	20 (1,1 %)	50 (0,4 %)

Die Vierecke lassen sich aufgrund ihrer Form in die disjunkten Klassen der konkaven und konvexen Vierecke einteilen. Beide können aufgrund von Symmetrieeigenschaften weiter unterteilt werden, wobei sich die Teilklassen im Falle der konvexen Vierecke überschneiden.

Offensichtlich ist daher

$\# \square = \# \square_{\mathrm{konkav}} + \# \square_{\mathrm{konvex}}$

Flächenberechnung

Zur Berechnung des Flächeninhalts von Gittervielecken dient der Satz von Pick (1899).^[3]

Literatur und Aufgabensammlungen

• Karl-Heinz Keller: Am Geo-Brett Geometrie entdecken. Ein Grundkurs in Geometrie. Offenburg: Mildenberger, 2002. ISBN 978-3-619-02520-6.
• Judith und Ulrich Lüttringhaus: Das große Geobrett. Bd. 1: Geometrische Konstruktionen. Augsburg: Brigg, 2009. ISBN 3-87101-427-3.
• Hans-Günter Senftleben: Aufgabensammlung für das große Geobrett. Hamburg: Rittel, 2001. ISBN 3-93644-301-7
• Horst Steibl: Geobrett im Unterricht. Hildesheim; Berlin: Franzbecker, 2006. ISBN 3-88120-417-2.

Weblinks

 Commons: Geobrett – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Natalie Bär, Nicole Bröll und Birgit Kühn: Geobrett. Ein WebQuest für Kinder ab der 1. Klasse.
• Bildungsserver Hessen. Unterrichtsmaterial.
• Das Geobrett.
• Das Geobrett. (Montessori-Shop.)
• Margherita Barile: Geoboard. (MathWorld – A Wolfram Web Resource.)
• Alexander Bogomolny: Geoboard. (Virtuelles Geobrett.)
• Utah State University. National Library of Virtual Manipulatives. (Virtuelles Geobrett.)

Einzelnachweise

1. ↑ Caleb Gattegno: The Gattegno Geoboards. In: Bulletin of the Association for Teaching Aids in Mathematics 3 (1954).
2. ↑ Vgl. OEIS, A045996, A000938, dazu auch A178208, A008911.
3. ↑ Georg Alexander Pick: Geometrisches zur Zahlenlehre. (Bearbeitung eines in der deutschen mathematischen Gesellschaft zu Prag gehaltenen Vortrags.) In: Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen „Lotos“ in Prag 19 (1899), S. 311-319.