Baire-Kategorie

Bei den Baire-Kategorien handelt es sich um die Klassifikation von Teilmengen der Reellen Zahlen, bzw. eines beliebigen metrischen Raumes. Folgende Frage war Ausgangspunkt der Definition: Eine Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ reellwertiger, auf dem Intervall [0,1] stetiger Funktionen konvergiert punktweise gegen die Funktion f(x). Ist diese Menge der $x \in [0,1]$ in denen f(x) nicht stetig ist, „groß“ oder „klein“? Die Antwort nach Baire lautet: Sie ist mager.

Definitionen

Eine Teilmenge $\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$ eines metrischen Raumes heißt nirgends dicht in $\mathcal{M}$, wenn der Abschluss von $\mathcal{A}$ keine offene Kugel von $\mathcal{M}$ enthält.

Eine Teilmenge $\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$ heißt von 1. Kategorie oder mager, falls $\mathcal{A}$ eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist.

Teilmengen $\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$, die nicht von 1. Kategorie sind, heißen von 2. Kategorie.

Das Komplement einer Menge von 1. Kategorie heißt residuell.

Achtung: Diese Definition hat nichts mit den Kategorien zu tun, die in der Kategorientheorie verwendet werden.

Siehe auch

• Satz von Baire