Super-Reflexivität

Die endliche Präsentierbarkeit ist ein mathematisches Konzept, das in der Untersuchung der Banachräume Anwendung findet. Die Grundidee besteht darin, einen Banachraum über die in ihm enthaltenen endlich-dimensionalen Teilräume zu untersuchen.

Definition

Ein normierter Raum F heißt endlich präsentierbar in einem normierten Raum E, wenn es zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum $U\subset F$ und jedem ε > 0 einen Teilraum $V\subset E$ und einen linearen Isomorphismus $T:U\rightarrow V$ gibt mit $\|T\|\cdot \|T^{-1}\| < 1+\epsilon$.

Dabei berechnen sich die Operatornormen $\|T\|$ und $\|T^{-1}\|$ bezüglich der auf U und V induzierten Teilraum-Normen.

F ist also endlich präsentierbar in E, wenn jeder endlich-dimensionale Teilraum von F bis auf ein ε auch in E vorkommt. Mit dem Begriff des Banach-Mazur-Abstandes kann man das auch so formulieren, dass man zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum $U\subset F$ endlich-dimensionale Teilräume in E mit beliebig kleinem Banach-Mazur-Abstand zu U finden kann.

Unterräume von Banachräumen sind in diesen endlich präsentierbar. Die Eigenschaft der endlichen Präsentierbarkeit ist transitiv, das heißt: Ist F endlich präsentierbar in E und G endlich präsentierbar in F, so ist G endlich präsentierbar in E.

Beispiele

• L^p([0,1]) ist endlich präsentierbar im Folgenraum $\ell^p,\, 1\le p < \infty$.
• $\ell^p,\, p>2$ ist nicht endlich präsentierbar in $L^q(X,\mu),\, 1\le q \le 2$.
• Der Funktionenraum C([0,1]) ist endlich präsentierbar in c₀ und umgekehrt.

Satz von Dvoretzky

Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von C([0,1]). Daher ist jeder Banachraum endlich präsentierbar in C([0,1]), das heißt C([0,1]) ist maximal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit. Der Satz von Dvoretzky (nach Aryeh Dvoretzky) sagt aus, dass Hilberträume minimal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit sind:

• Satz von Dvoretzky: Jeder Hilbertraum ist in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar.

Die Eigenschaft, in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar zu sein, charakterisiert die Hilberträume. Ist nämlich E in jedem Banachraum endlich präsentierbar, so auch in $\ell^2$, und man zeigt leicht, dass in E die Parallelogrammgleichung gelten muss; daher ist E nach dem Satz von Jordan-von Neumann ebenfalls ein Hilbertraum.

Super-Eigenschaften

Es sei P eine Eigenschaft, die ein Banachraum haben kann. Man sagt, ein Banachraum E sei (bzw. habe) super-P, falls jeder Banachraum, der in E endlich präsentierbar ist, ebenfalls die Eigenschaft P hat. Wenn ein Banachraum eine Super-Eigenschaft hat, dann muss nach dem Satz von Dvoretzky auch jeder Hilbertraum diese Eigenschaft haben.

Ist E ein gleichmäßig konvexer Raum und F endlich präsentierbar in E, so ist auch F gleichmäßig konvex. Gleichmäßige Konvexität ist also eine Super-Eigenschaft, das heißt ein gleichmäßig konvexer Raum ist bereits super-gleichmäßig konvex.

Super-Reflexivität

Da gleichmäßig konvexe Räume nach dem Satz von Milman reflexiv sind und da gleichmäßige Konvexität eine Super-Eigenschaft ist, sind gleichmäßig konvexe Räume super-reflexiv. Reflexivität selbst ist keine Super-Eigenschaft, das heißt Reflexivität und Super-Reflexivität sind nicht äquivalent. Super-Reflexivität wird durch den folgenden Satz von Per Enflo charakterisiert:

• Ein Banachraum ist genau dann super-reflexiv, wenn es eine äquivalente Norm gibt, die ihn zu einem gleichmäßig konvexen Raum macht.

Da gleichmäßig konvexe Räume nach einem Satz von Shizuo Kakutani die Banach-Saks-Eigenschaft haben, folgt daraus:

• Super-reflexive Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.

Daher folgt aus der Super-Reflexivität die Super-Banach-Saks-Eigenschaft; man kann sogar zeigen:

• Super-Reflexivität und die Super-Banach-Saks-Eigenschaft sind äquivalent.

Prinzip der lokalen Reflexivität

Nach einem Satz von Joram Lindenstrauss und Haskell Rosenthal ist der Bidual eines Banachraums E stets endlich präsentierbar in E. Dieses sogenannte Prinzip der lokalen Reflexivität wird zur folgenden genaueren Aussage verschärft:

• Sei E ein Banachraum, $U\subset E\,''$ und $V \subset E\,'$ seien endlich-dimensionale Teilräume und es sei ε > 0. Dann gibt es einen injektiven, stetigen, linearen Operator $T:U\rightarrow E$ mit:

1. $\|T\|\cdot \|T^{-1}|_{T(U)}\| \, < \, 1+\epsilon$
2. $T|_{U\cap E} = {\mathrm id}_{U\cap E}$
3. $f(Tu) \,=\, u(f)$ für alle $u\in U, f\in V$

Literatur

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 2. Auflage. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87878-5.
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• Per Enflo: Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm. In: Israel Mathematical Journal. Band 13, 1972, S. 281–288.
• Joram Lindenstrauss, Haskell Paul Rosenthal: The L^p-spaces. In: Israel Mathematical Journal. Band 7, 1969, S. 325–349.