Prinzip der lokalen Reflexivität

Die endliche Präsentierbarkeit ist ein mathematisches Konzept, das in der Untersuchung der Banachräume Anwendung findet. Die Grundidee besteht darin, einen Banachraum über die in ihm enthaltenen endlich-dimensionalen Teilräume zu untersuchen.

Definition

Ein normierter Raum F heißt endlich präsentierbar in einem normierten Raum E, wenn es zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum $U\subset F$ und jedem ε > 0 einen Teilraum $V\subset E$ und einen linearen Isomorphismus $T:U\rightarrow V$ gibt mit $\|T\|\cdot \|T^{-1}\| < 1+\epsilon$.

Dabei berechnen sich die Operatornormen $\|T\|$ und $\|T^{-1}\|$ bezüglich der auf U und V induzierten Teilraum-Normen.

F ist also endlich präsentierbar in E, wenn jeder endlich-dimensionale Teilraum von F bis auf ein ε auch in E vorkommt. Mit dem Begriff des Banach-Mazur-Abstandes kann man das auch so formulieren, dass man zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum $U\subset F$ endlich-dimensionale Teilräume in E mit beliebig kleinem Banach-Mazur-Abstand zu U finden kann.

Unterräume von Banachräumen sind in diesen endlich präsentierbar. Die Eigenschaft der endlichen Präsentierbarkeit ist transitiv, das heißt: Ist F endlich präsentierbar in E und G endlich präsentierbar in F, so ist G endlich präsentierbar in E.

Beispiele

• L^p([0,1]) ist endlich präsentierbar im Folgenraum $\ell^p,\, 1\le p < \infty$.
• $\ell^p,\, p>2$ ist nicht endlich präsentierbar in $L^q(X,\mu),\, 1\le q \le 2$.
• Der Funktionenraum C([0,1]) ist endlich präsentierbar in c₀ und umgekehrt.

Satz von Dvoretzky

Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von C([0,1]). Daher ist jeder Banachraum endlich präsentierbar in C([0,1]), das heißt C([0,1]) ist maximal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit. Der Satz von Dvoretzky (nach Aryeh Dvoretzky) sagt aus, dass Hilberträume minimal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit sind:

• Satz von Dvoretzky: Jeder Hilbertraum ist in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar.

Die Eigenschaft, in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar zu sein, charakterisiert die Hilberträume. Ist nämlich E in jedem Banachraum endlich präsentierbar, so auch in $\ell^2$, und man zeigt leicht, dass in E die Parallelogrammgleichung gelten muss; daher ist E nach dem Satz von Jordan-von Neumann ebenfalls ein Hilbertraum.

Super-Eigenschaften

Es sei P eine Eigenschaft, die ein Banachraum haben kann. Man sagt, ein Banachraum E sei (bzw. habe) super-P, falls jeder Banachraum, der in E endlich präsentierbar ist, ebenfalls die Eigenschaft P hat. Wenn ein Banachraum eine Super-Eigenschaft hat, dann muss nach dem Satz von Dvoretzky auch jeder Hilbertraum diese Eigenschaft haben.

Ist E ein gleichmäßig konvexer Raum und F endlich präsentierbar in E, so ist auch F gleichmäßig konvex. Gleichmäßige Konvexität ist also eine Super-Eigenschaft, das heißt ein gleichmäßig konvexer Raum ist bereits super-gleichmäßig konvex.

Super-Reflexivität

Da gleichmäßig konvexe Räume nach dem Satz von Milman reflexiv sind und da gleichmäßige Konvexität eine Super-Eigenschaft ist, sind gleichmäßig konvexe Räume super-reflexiv. Reflexivität selbst ist keine Super-Eigenschaft, das heißt Reflexivität und Super-Reflexivität sind nicht äquivalent. Super-Reflexivität wird durch den folgenden Satz von Per Enflo charakterisiert:

• Ein Banachraum ist genau dann super-reflexiv, wenn es eine äquivalente Norm gibt, die ihn zu einem gleichmäßig konvexen Raum macht.

Da gleichmäßig konvexe Räume nach einem Satz von Shizuo Kakutani die Banach-Saks-Eigenschaft haben, folgt daraus:

• Super-reflexive Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.

Daher folgt aus der Super-Reflexivität die Super-Banach-Saks-Eigenschaft; man kann sogar zeigen:

• Super-Reflexivität und die Super-Banach-Saks-Eigenschaft sind äquivalent.

Prinzip der lokalen Reflexivität

Nach einem Satz von Joram Lindenstrauss und Haskell Rosenthal ist der Bidual eines Banachraums E stets endlich präsentierbar in E. Dieses sogenannte Prinzip der lokalen Reflexivität wird zur folgenden genaueren Aussage verschärft:

• Sei E ein Banachraum, $U\subset E\,''$ und $V \subset E\,'$ seien endlich-dimensionale Teilräume und es sei ε > 0. Dann gibt es einen injektiven, stetigen, linearen Operator $T:U\rightarrow E$ mit:

1. $\|T\|\cdot \|T^{-1}|_{T(U)}\| \, < \, 1+\epsilon$
2. $T|_{U\cap E} = {\mathrm id}_{U\cap E}$
3. $f(Tu) \,=\, u(f)$ für alle $u\in U, f\in V$

Literatur

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 2. Auflage. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87878-5.
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• Per Enflo: Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm. In: Israel Mathematical Journal. Band 13, 1972, S. 281–288.
• Joram Lindenstrauss, Haskell Paul Rosenthal: The L^p-spaces. In: Israel Mathematical Journal. Band 7, 1969, S. 325–349.