Umkehrt proportional

Umkehrt proportional

Antiproportionalität besteht zwischen zwei Größen x und y, wenn x proportional zu 1/y, also zum Kehrwert von y ist. Bei antiproportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe mit einer Halbierung (Drittelung, Verdopplung, ...) der anderen Größe verbunden.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Definition

Eine antiproportionale Funktion (auch: umgekehrt proportional, reziprok proportional, indirekt proportional) ist eine rationale Funktion zwischen Argumenten x und Funktionswerten y von der einfachen Form

y = \frac{a}{x}.

Ihr Graph ist eine Hyperbel, die sich den Koordinatenachsen asymptotisch annähert. Beispiel: Höhe und Breite eines Rechtecks bei fest vorgegebenem Flächeninhalt sind antiproportional zueinander. Das Produkt aus x und y ist eine Systemkonstante, im Beispiel der Flächeninhalt A.

Bei Messwerten wird zum Nachweis eines antiproportionalen Zusammenhangs oftmals eine Größe gegen den Kehrwert der anderen Größe aufgetragen. Auf diese Weise erhält man eine leichter zu erkennende Ursprungsgerade.

Zur Berechnung kann ein dem Dreisatz ähnliches Verfahren verwendet werden, wobei die Produktkonstanz ausgenutzt wird. Ein Wertepaar (x0, y0) ist gegeben, von einem weiteren ist nur das Argument x1 bekannt. Man rechnet in 3 Schritten, wobei man durch wechselweises Multiplizieren und Dividieren das Produkt konstant erhält.

  x y Rechne:
1.   x0   y0 links ÷ x0, rechts · x0
2. 1 y0· x0 links · x1, rechts ÷ x1
3. x1 y0·x0/x1  
Diagramm mit Hyperbel

Beispiele

Ein Bandeisen gegebener Länge ist 8 cm breit und 0,5 cm hoch. Wie hoch muss es bei 5 cm Breite sein, damit es das gleiche Gewicht hat? Lösungsidee: Es muss die gleiche Querschnittsfläche A haben. Rechnung:

  Breite in cm Höhe in cm Rechne:
1. 8 0,5 links ÷ 8, rechts · 8
2. 1 4,0 links · 5, rechts ÷ 5
3. 5 0,8  

Lösung: Es muss 0,8 cm hoch sein. (Die Systemkonstante ist in diesem Fall die Querschnittsfläche A = 4 cm2).


Als zweites Beispiel kann hier eine Baustelle dienen. Ein Bagger braucht fünf Minuten, um ein Loch von 4 Kubikmetern auszuheben. Wenn mehr Bagger am Loch arbeiten, geht die Arbeit natürlich schneller voran. So brauchen 5 Bagger zusammen nur noch eine Minute für ein Loch gleicher Größe.

Schreibweise

Für „a ist antiproportional zu b“ schreibt man kurz:

a \sim \frac{1}{b}

Siehe auch


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