Universum (Mathematik)

Der Begriff Universum steht in der Mathematik z. B. für das so genannte Mengenuniversum U. Es fasst beliebige bekannte und unbekannte, über Axiome definierte Objekte zusammen, auch Mengen von Objekten. Ein Universum wird meist über eine Variable mit einer Aussage assoziiert (Aussagenlogik).

Ein Mengensystem U aus Mengen und Urelementen besitzt folgende Eigenschaften:

1. Mit einer Menge A gehören auch alle Elemente von A zu U , d.h. wenn $A \in U$, so $A \subseteq U$
2. Mit Mengen oder Urelementen A,B gehört auch die Zweiermenge $\left\{ A,B \right\}$ zu U
3. Mit einer Menge A gehört auch die Potenzmenge $\mathfrak{P} \left( A \right)$ zu U
4. Für jede Mengenfamilie $\left( A_i \right)_{i\in I}$, deren Indexbereich I und deren sämtliche Glieder A_i zu U gehören, gehört auch die Vereinigung $\cup_{i\in I} A_i$ zu U
5. U enthält wenigstens eine unendliche Menge

Die Existenz eines Universums lässt sich nur mittels sehr starker Axiome der Mengenlehre beweisen, die nämlich die Existenz von Mengen mit sehr großer Mächtigkeit sichern, da ein Universum, wenn es existiert, eine sehr große Mächtigkeit besitzt.

Vielfach wird die Existenz eines Universums, genauer: dass jede Menge Element eines Universums ist, als Axiom gefordert, als Universenaxiom. Derartige Universen werden vor allem in der allgemeinen Strukturtheorie gefordert.