- Topos (Mathematik)
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Topos (pl. Topoi, griech. Ort) ist ein Begriff der Kategorientheorie, der in zwei engverwandten Ausprägungen vorkommt, nämlich
- als Elementartopos, der eine verallgemeinerte Kategorie aller Mengen ist, mit dem Ziel einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik.
- als Grothendieck-Topos, der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet.
Inhaltsverzeichnis
Elementartopos
Motivation
Die Idee eines Elementartopos geht ursprünglich auf William Lawvere zurück, welcher sich 1963 zum Ziel setzte, die Mathematik auf ein rein kategorientheoretisches Fundament zu stellen (anstatt der bis heute üblichen Mengenlehre). In Zusammenarbeit mit Myles Tierney formulierte er gegen Ende der 60er Jahre schließlich die Axiome für ein Elementartopos. Dieses ist, vereinfacht gesagt, eine Art Universum (informell gesprochen, nicht zu verwechseln mit einem mengentheoretischen Universum), in dem es möglich ist Mathematik zu betreiben. Ein Elementartopos enthält genügend Struktur, um darin einen abstrakten Mengenbegriff zu definieren und damit Mathematik und Logik zu betreiben. Insbesondere besitzt ein Elementartopos eine sogenannte interne Logik, welche nicht unbedingt klassisch sein muss.
Definition
Ein Elementartopos ist eine Kategorie
mit
- (a) einem Pullback für jedes Diagramm
;
- (b) einem terminalen Objekt 1;
- (c) einem Objekt Ω, genannt der Unterobjekt-Klassifizierer (wörtlich von engl. subobject classifier) und einem Monomorphismus
, sodass für jeden Monomorphismus
ein eindeutiger Pfeil
(genannt der Charakter von m) existiert, sodass folgendes Diagramm ein Pullback ist:
wobei hier
den eindeutigen Pfeil von A ins Terminalobjekt 1 bezeichne;
- (d) einem Exponential CA mit zugehörigem Evaluations-Pfeil
für je zwei Objekte A,C, mit der universellen Eigenschaft, dass für jedes Objekt B und jeden Pfeil
genau ein Pfeil
existiert, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
wobei
den Identitätspfeil von A bezeichne.
Die Eigenschaften (a) und (b) lassen sich kurz zusammenfassen indem man sagt
sei endlich komplett (d.h. alle endlichen Limites existieren). Die Eigenschaften (c) und (d) scheinen im ersten Moment extrem künstlich und abstrakt zu sein, sind jedoch beide durch die Kategorie
aller Mengen motiviert. Kürzer schreibt man oft für (d), dass der Funktor
für alle A eine rechte Adjunktion (meist mit ( − )A bezeichnet) besitzt.
Die ursprüngliche Definition eines Elementartopos enthielt auch die Forderung, dass dieses endlich kokomplett sein soll (d.h. dass alle endlichen Kolimites existieren). Diese Forderung folgt jedoch, nach einem nicht-trivialen Resultat von Mikkelsen.[1]
Elementartopos als Abstraktion der Kategorie aller Mengen
Wie schon gesagt, sollte mit Hilfe der Topostheorie ein kategorientheoretisches Fundament für die Mathematik gelegt werden. Dies bedeutet insbesondere, dass die Kategorie
aller Mengen dadurch beschrieben werden muss. Entsprechend ist dies wohl auch das wichtigste Beispiel, was die Motivation der verschiedenen Konzepte der Topostheorie angeht. In
ist
schlicht die Menge aller Abbildungen von A nach C und entsprechend
. Weiter ist Ω = {0,1} = 2 (man beachte, dass hier 2 als finite Ordinalzahl zu verstehen ist),
und
die übliche charakteristische Funktion von A als Teilmenge von B.
Die Eigenschaft, dass Ω nur zwei Elemente enthält bedeutet, dass es sich bei
um ein sogenannt Boole'sches Topos handelt und ist elementar für die klassische Mathematik (klassisch im Sinne von nicht-intuitionistisch).
Grothendieck-Topos
Ein Grothendieck-Topos ist definiert als eine Kategorie, die äquivalent ist zur Kategorie der Garben (von Mengen) auf einem Situs. Nach einem Satz von Jean Giraud ist eine Kategorie
genau dann ein Grothendieck-Topos, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- (a) In
existieren endliche projektive Limites.
- (b) In
existieren beliebige Koprodukte, und sie sind universell disjunkt.
- Ein Koprodukt
heißt disjunkt, wenn die Strukturmorphismen
Monomorphismen sind und
für
ein Anfangsobjekt ist. Das Koprodukt heißt universell disjunkt, wenn es unter jedem Basiswechsel
disjunkt bleibt, d.h. wenn
disjunkt ist.
- (c) Äquivalenzrelationen in
sind universell effektiv.
- Dabei ist eine Äquivalenzrelation ein Paar
von Morphismen, so dass für jedes Objekt
die induzierte Abbildung
eine Bijektion auf den Graphen einer Äquivalenzrelation auf X(T) ist. Dabei ist
.
- (d)
besitzt eine erzeugende Familie von Objekten.
- Dabei heißt eine Familie
von Objekten erzeugend, wenn ein Morphismus
, für den alle induzierten Abbildungen
Bijektionen sind, ein Isomorphismus ist.
Es sei angemerkt, dass jedes Grothendieck-Topos immer auch ein Elementartopos ist.
Einzelnachweise
- ↑ Paré, Robert Colimits in topoi. Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 556--561.
Literatur
- Michael Artin, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier: Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. (SGA 4) 1963-64. SGA
- Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves – Cambridge, 1994.
- Rob Goldblatt: Topoi : the categorial analysis of logic. – Amsterdam, 11979, 21984; Mineola, NY: Dover 2006. ISBN 0-486-45026-0 Zbl 0434.03050(krit. bespr. v. Johnstone) Scans
- William Lawvere, Robert Rosebrugh: Sets for Mathematics -Cambridge University Press, 2003.
- Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Topos theory. In: M. Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of algebra. Amsterdam. Bd. I, 1996, S.501-528. ISBN 0-444-82212-7 Zbl 0858.18001
- Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory. – Berlin, 1992. – xii, 627 p. (Universitext) ISBN 0-387-97710-4 Zbl 0822.18001
- Michael Barr und Charles Wells: Toposes, Triples and Theories. – Berlin, 1983 (Grundlehren der math. Wissenschaften; 278) http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html
- Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Logic Guides, 43 & 44, 2002. ISBN 0-19-852496-X Zbl 1071.18002
- Ieke Moerdijk, Jacob Johan Caspar Vermeulen: Proper Maps of Toposes. Mem. Am. Math. Soc. 705, 2000. ISBN 0-8218-2168-7 Zbl 0961.18003
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