Unmöglichkeitstheorem

Das von dem Ökonom und Nobelpreisträger Kenneth Arrow formulierte und nach ihm benannte Arrow-Theorem (auch Arrow-Paradoxon oder Allgemeines Unmöglichkeitstheorem genannt) weist nach, dass es unmöglich ist, aus den Präferenzen der Individuen einer Gruppe immer eine eindeutige Präferenz der Gruppe abzuleiten, wenn diese Ableitung gleichzeitig noch einige anscheinend naheliegende ethische und methodische Bedingungen erfüllen soll.

Darstellung

Das 'General Impossibility Theorem' wurde von Arrow zuerst in seiner Doktorarbeit formuliert und erschien 1951 unter dem Titel "Social Choice and Individual Values" als Buch. Arrows Arbeit entstand aus den Diskussionen der an Pareto-Effizienz orientierten Wohlfahrtsökonomie (welfare economics) und benutzt deren Begriffe und Methoden.

Das Theorem hat das Verhältnis zwischen dem Wollen der Individuen und der gesellschaftlichen Entscheidung zum Gegenstand. Arrow schreibt: "Wir fragen, ob es formal möglich ist, ein Verfahren zu entwerfen, um ausgehend von einer Menge gegebener individueller Präferenzen zu einer strukturierten sozialen Entscheidung zu gelangen, wobei von dem betreffenden Verfahren gefordert wird, dass es bestimmte naheliegende Bedingungen (natural conditions) erfüllt." Arrow bezeichnet ein solches Verfahren als 'Soziale Wohlfahrtsfunktion" (social welfare function).

Mit dem Theorem führt Arrow den logischen Beweis, dass sich aus den Wertungen der Individuen – erfasst durch individuelle Präferenzordnungen der zur Entscheidung stehenden Alternativen – nicht in jedem Fall eine eindeutige soziale Entscheidung ableiten lässt, sofern dabei zugleich die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

1. Alle logisch möglichen individuellen Präferenzordnungen werden zugelassen (Bedingung des unbeschränkten Bereichs).
2. Wenn alle Individuen die Alternative x mindestens so hoch schätzen wie die Alternative y und wenigstens ein Individuum x strikt gegenüber y präferiert, dann wird x gegenüber y kollektiv präferiert (schwaches Pareto-Prinzip).
3. Die Präferenzen der Individuen gegenüber Alternativen, die selber keine Aussicht haben, kollektiv gewählt zu werden, haben keinen Einfluss darauf, welche Alternative kollektiv gewählt wird (Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen).
4. Es gibt kein Individuum, das allein die soziale Entscheidung bestimmt (Bedingung der Nicht-Diktatur).

Alle kollektiven Entscheidungen, die die Axiome 1 bis 3 erfüllen, verstoßen zwangsläufig gegen die Bedingung der Nicht-Diktatur.

Dabei wird von mindestens zwei Individuen und mindestens drei Entscheidungsvarianten ausgegangen.

Da das Unmöglichkeitstheorem in sich logisch schlüssig ist, kann das negative Resultat nur dadurch aufgehoben werden, dass eine der Bedingungen verändert oder fallengelassen wird. Das bereits 1785 entdeckte Condorcet-Paradoxon stellt einen Spezialfall dieses Theorems dar.

Beurteilung

Arrows „General Impossibility Theorem“ stellt natürlich nur für solche Sozialphilosophien ein Problem dar, bei denen – wie in der Demokratie – die sozialen Entscheidungen aus dem Willen der Einzelnen abgeleitet werden. Ideologien, die die sozialen Entscheidungen anderweitig ableiten, z. B. aus einem Überlebenskampf der Rassen und Völker oder aus den Gesetzmäßigkeiten der Menschheitsgeschichte, sind von dem negativen Resultat des Allgemeinen Unmöglichkeitstheorems nicht betroffen.

Da die Bedingungen der Nicht-Diktatur, des Pareto-Prinzips und des Unbeschränkten Bereichs methodisch und ethisch unverzichtbar erscheinen, konzentrierte sich die Kritik auf die Bedingung der 'Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen'.

Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen

Diese Bedingung besagt, dass für die soziale Entscheidung zwischen den Alternativen x und y nur die Präferenzen der Individuen bezüglich dieser beiden Alternativen eine Rolle spielen dürfen, nicht jedoch die Präferenzen der Individuen in Bezug auf irgendeine dritte Alternative z.

Ein Beispiel soll diese Bedingung veranschaulichen. Soziale Wohlfahrtsfunktion sei die Regel der relativen Mehrheit, die besagt: "Gewählt ist diejenige Alternative, die von allen zur Abstimmung gestellten Alternativen die meisten Stimmen erhält". Nehmen wir einmal an, dass 5 Individuen (A, B, C, D, E) über 4 Alternativen (w, x, y, z) abzustimmen haben.

Die fiktiven Präferenzen der Individuen zeigt die folgende Tabelle. Dabei sind unter jedem Individuum die Alternativen von oben nach unten gemäß ihrem Wert oder Nutzen für das betreffende Individuum angeordnet (Präferenzordnung).

A	B	C	D	E
x	x	w	z	y
z	w	y	y	w
w	z	z	w	z
y	y	x	x	x

Wenn alle Individuen entsprechend ihren Präferenzen abstimmen, dann stimmen A und B für x, C für w, D für z und E für y. Somit erhält die Alternative x die meisten Stimmen (2) und ist somit gewählt, denn die anderen Alternativen erhalten nur je eine Stimme.

Werden jedoch die Alternativen w und z von der Abstimmung zurückgezogen, so sehen die Präferenzen folgendermaßen aus:

A	B	C	D	E
x	x	y	y	y
y	y	x	x	x

Nun erhält nicht die Alternative x die meisten Stimmen, sondern die Alternative y ist mit 3 Stimmen kollektiv gewählt.

Wie man sieht, hat für die Entscheidung zwischen x und y die Bewertung der Alternativen w und z eine Rolle gespielt. Damit verletzt die 'Regel der relativen Mehrheit' jedoch die Bedingung der 'Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen'.

Wie Amartya K. Sen nachgewiesen hat, wird mit der Bedingung der 'Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen' das ordinale Messniveau festgeschrieben. Bei einem höheren Messniveau des individuellen Nutzens würde das Arrow-Paradox nicht auftreten.

Informationen zu den Wertungen der Alternativen durch die Individuen, die über Rangordnungen der Alternativen hinausgehen, sind sowohl durch die Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen als auch durch Arrows Ausgangspunkt bei den individuellen Präferenzordnungen ausgeschlossen. Es kann nur gesagt werden, dass ein Individuum x gegenüber y vorzieht. Es kann jedoch nicht gesagt werden, mit welcher Intensität es x gegenüber y präferiert.

Wie es in der an Pareto orientierten Wohlfahrtsökonomie üblich ist, werden die Abstände zwischen den Rangplätzen in ihren Größenverhältnissen nicht erfasst. Ob sich z. B. hinter der Rangordnung x > y die Alternativen "1000 € Gewinn" und "1 € Gewinn" verbergen oder die Alternativen "1000 € Gewinn" und "999 € Gewinn" verbergen, ist gleichgültig und wird für die Entscheidungsfindung ausgeblendet.

Im ersten Fall ist das Individuum sehr viel stärker von der Entscheidung zwischen x und y betroffen als im zweiten Fall. Der Grad der Betroffenheit eines Individuums von einer Entscheidung ist jedoch zweifellos sowohl für das rational handelnde Individuum als auch für eine ethische Beurteilung von Relevanz.

Literatur

• Arrow, K., Social Choice and Individual Values. 2. Auflage. New Haven 1963
• Sen, A.K., Collective Choice and Social Welfare. San Francisco 1970.
• Lenk, Thomas u. Volkmar Teichmann: Arrows Unmöglichkeitstheorem. In: Das Wirtschaftsstudium (WISU), 28. Jg., Heft 6 (Juni 1999), S. 866-870.

Siehe auch

Sozialwahltheorie, homo oeconomicus, Pareto-Optimierung

Weblinks

• http://www.wahlrecht.de/lexikon/arrow.html
• http://www.ethik-werkstatt.de/Arrowparadox.htm