Van-der-Pol-Oszillator

Der Van-der-Pol-Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit nichtlinearer Dämpfung und Selbsterregung. Für kleine Amplituden ist die Dämpfung negativ (die Amplitude wird vergrößert). Ab einem bestimmten Schwellwert der Amplitude wird die Dämpfung positiv, das System stabilisiert sich und geht in einen Grenzzyklus über. Benannt wurde das Modell nach dem niederländischen Physiker Balthasar van der Pol (1889 - 1959), der es 1927 als Ergebnis seiner Forschungen an Oszillatoren mit Vakuumröhren vorstellte.

Anwendung

Der Van-der-Pol-Oszillator ist ein System mit deterministischen Chaos.

Mathematische Beschreibung

Homogene Van-der-Pol-Gleichung

Verhalten der homogenen Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = 0$

mit $\varepsilon \geq 0$ als Parameter und x als zeitabhängiger Größe beschreibt das zeitliche Verhalten eines freien Van-der-Pol-Oszillators. Eine geschlossenen Lösung existiert nicht. Um das prinzipielle Verhalten zu untersuchen sind stationäre Punkte hilfreich. Für x = const gilt:

$x_s=0\;$.

Die Linearisierung der Differenzialgleichung mit

$x(t)=x_s+\Delta x(t)\;$

ergibt

$\Delta \ddot x - \varepsilon \Delta \dot x + \Delta x = 0$.

Die Charakteristische Gleichung ist

$\lambda ^2 - \varepsilon \cdot \lambda + 1 =0$

mit den Lösungen

$\lambda_{1,2}=\frac{\varepsilon}{2}\pm\frac{\sqrt{\varepsilon ^2 -4}}{2}$

Entsprechend der Größe von $\epsilon\;$ gibt es folgende Fälle:

• $\varepsilon = 0$; Harmonische Schwingung

• $0 < \varepsilon < 2$; anwachsende Schwingungen

• $\varepsilon > 2$; exponentielles Wachstum des linearisierten Systems, d. h., das System ist um den stationären Punkt instabil.

Die negative Dämpfung ($\varepsilon > 0\;$) für kleine Elongation des Oszillators wird für Elongationen $|x| > 1\;$ positiv. Die Schwingung wird also gedämpft, um bei $|x| < 1\;$ wieder selbst angeregt zu werden. Eigenschaften des Lösungsverhaltens sind:

• Die Periodendauer der Schwingung ist abhängig von dem Parameter $\varepsilon\;$ und nimmt mit diesem zu.
• Es bildet sich ein Grenzzyklus heraus. Unabhängig von den gewählten Anfangsbedingungen strebt das System in den Grenzyklus.
• Mit wachsendem $\varepsilon\;$ wird die Schwingung anharmonischer und geht in Kippschwingungen über.

Inhomogene Van-der-Pol-Gleichung

Verhalten der inhomogenen Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = F\cdot\sin(\omega\cdot t)$

beschreibt den getriebenen Van-der-Pol-Oszillator mit der Amplitude $F\;$ und der Kreisfrequenz $\omega \;$. Einige Eigenschaften der Lösung:

• Für kleine Amplituden der Anregung schwingt das System mit der Eigenfrequenz.
• Für größere Amplituden treten neben der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz noch weitere auf. Es zeigt sich chaotisches Verhalten.
• Eine weitere Vergrößerung der Amplitude führt zum Einrasten. Das System schwingt mit der Anregungsfrequenz.

Weblinks

• Van der Pol Oszillator auf Scholarpedia
• Van Der Pol Oscillator Interaktives Demo