Van-der-Pol-System

Der Van-der-Pol-Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit nichtlinearer Dämpfung und Selbsterregung. Für kleine Amplituden ist die Dämpfung negativ (die Amplitude wird vergrößert). Ab einem bestimmten Schwellwert der Amplitude wird die Dämpfung positiv, das System stabilisiert sich und geht in einen Grenzzyklus über. Benannt wurde das Modell nach dem niederländischen Physiker Balthasar van der Pol, der es 1927 als Ergebnis seiner Forschungen an Oszillatoren mit Vakuumröhren vorstellte.

Anwendung

Das Van-der-Pol-System erfüllt die Bedingungen des Poincaré-Bendixson-Theorems. Deswegen kann beim Van-der-Pol-System kein Chaos auftreten. Beim gestörten Van-der-Pol-System sind die Bedingungen für das Poincaré-Bendixson-Theorem nicht mehr erfüllt. Deswegen kann Deterministisches Chaos auftreten.

Mathematische Beschreibung

Homogene Van-der-Pol-Gleichung

Verhalten der homogenen Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = 0$

mit $\varepsilon \geq 0$ als Parameter und x als zeitabhängiger Größe beschreibt das zeitliche Verhalten eines freien Van-der-Pol-Oszillators. Eine geschlossenen Lösung existiert nicht. Um das prinzipielle Verhalten zu untersuchen sind stationäre Punkte hilfreich. Für x = const gilt:

$\dot x_s=0\;$.

Die Linearisierung der Differentialgleichung mit

$x(t)=x_s+\Delta x(t)\;$

ergibt

$\Delta \ddot x - \varepsilon \Delta \dot x + \Delta x = 0$.

Die Charakteristische Gleichung ist

$\lambda ^2 - \varepsilon \cdot \lambda + 1 =0$

mit den Lösungen

$\lambda_{1,2}=\frac{\varepsilon}{2}\pm\frac{\sqrt{\varepsilon ^2 -4}}{2}$

Entsprechend der Größe von $\varepsilon\;$ gibt es folgende Fälle:

• $\varepsilon = 0$; Harmonische Schwingung

• 0 < ε < 2; anwachsende Schwingungen

• ε > 2; exponentielles Wachstum des linearisierten Systems, d. h., das System ist um den stationären Punkt instabil.

Die negative Dämpfung ($\varepsilon > 0\;$) für kleine Elongation des Oszillators wird für Elongationen $|x| > 1\;$ positiv. Die Schwingung wird also gedämpft, um bei $|x| < 1\;$ wieder selbst angeregt zu werden. Eigenschaften des Lösungsverhaltens sind:^[1]

• Die Periodendauer der Schwingung ist abhängig von dem Parameter $\varepsilon\;$ und nimmt mit diesem zu.
• Es bildet sich ein Grenzzyklus heraus. Unabhängig von den gewählten Anfangsbedingungen strebt das System in den Grenzyklus.
• Mit wachsendem $\varepsilon\;$ wird die Schwingung anharmonischer und geht in Kippschwingungen über.

Der Beweis der Existenz eines eindeutigen asymptotisch stabilen Grenzzyklus erfolgt mit Hilfe der Poincaré-Abbildung.

Inhomogene Van-der-Pol-Gleichung

Verhalten der inhomogenen Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = F\cdot\sin(\omega\cdot t)$

beschreibt den getriebenen Van-der-Pol-Oszillator mit der Amplitude $F\;$ und der Kreisfrequenz $\omega \;$. Einige Eigenschaften der Lösung:

• Für kleine Amplituden der Anregung schwingt das System mit der Eigenfrequenz.
• Für größere Amplituden treten neben der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz noch weitere auf. Es zeigt sich quasiperiodisches Verhalten : wenn man den folgenden Poincaré-Schnitt definiert

$t = \frac{n\cdot 2\pi}{\omega} , n\in \mathbb{N}$

wobei t die Zeit ist, erhält man die 2-dimensionale (stroboscopische) Abbildung. Ein Lyapunov-exponent ist null und die andere ist negativ, das bedeutet eine quasiperiodische Bewegung.

• Eine weitere Vergrößerung der Amplitude führt zum Einrasten. Das System schwingt mit der Anregungsfrequenz.

Weblinks

 Commons: Van-der-Pol-System – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Van der Pol Oszillator auf Scholarpedia
• Van Der Pol Oscillator Interaktive Demo

Literatur

1. ↑ Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2011 (freie Onlineversion).