Vergleichskriterium

Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Definition

Sei eine unendliche Reihe

$S = \sum_{n=0}^\infty a_n$

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

$T = \sum_{n=0}^\infty b_n$

mit nichtnegativen reellen Summanden b_n und gilt für alle n:

$|a_n| \le b_n,$

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe S wird von T majorisiert oder T ist die Majorante von S.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden a_n bzw. b_n, und gilt

$a_n \le b_n$

für fast alle n, dann folgt: Ist S divergent, dann ist auch T divergent.

Beweis

Konvergiert die Reihe $T = \sum_{\nu=0}^\infty b_\nu$, dann gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$, so dass $\sum _{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon$ für alle $m \ge n > N$ gilt (Cauchykriterium).

Aus $|a_\nu| \le b_\nu$ folgt $\Big|\sum_{\nu=n}^m a_\nu\Big| \le \sum_{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon$. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von $S = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu$ nach dem Cauchykriterium.

Beispiel

Die geometrische Reihe

$T=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\dots$

ist konvergent. Wegen $\frac{1}{2^n+1}\le\frac{1}{2^n}$ konvergiert somit auch die Reihe

$S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{17}+\dots$.

Anwendungen

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für $T=\sum_{n=0}^\infty b_n$. Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.

Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha}$

konvergent für α > 1 und divergent für $0<\alpha\leq 1$ ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls $\|a_n\|\le b_n$ für fast alle n gilt, die Partialsummenfolge von $S = \sum_{n=0}^\infty a_n$ eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d.h. ein Banachraum, so konvergiert S, falls T konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. Aufl. Vieweg-Verlag, 2006. ISBN 3-8348-0088-0