Vertauschungsgesetz

Das Kommutativgesetz (lat. commutare – vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik; wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ.

Formale Definition

Es seien A und X Mengen.

Spezialfall zweistellige Operation

Eine zweistellige Funktion $*: A\times A\to X,\; (a,b)\mapsto a*b$ heißt kommutativ, wenn für alle $a,b\in A$ die Gleichheit a * b = b * a gilt.

Allgemeiner Fall

Eine n-stellige Funktion $*:A^n\to X,\; (a_1,\dots,a_n)\mapsto a_1*a_2*\dots *a_n$ heißt kommutativ, wenn für alle $a_1,\dots,a_n\in A$ und alle Permutationen $(\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n))$ der Indizes $(1,2,\dots,n)$ die Gleichheit

$a_1*a_2*\ldots *a_n = a_{\sigma(1)}*a_{\sigma(2)}*\dots * a_{\sigma(n)}$

gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele

Reelle Zahlen

Für reelle Zahlen $a,b\in\R$ gilt stets

$a\,+\,b\,=\,b\,+\,a$   und   $a \cdot b = b \cdot a$   ,

die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch Kommutativgesetz der Addition, die zweite Kommutativgesetz der Multiplikation genannt. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen nicht kommutative Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ (Beispiel: $2^3 \neq 3^2$)

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen.

Skalarprodukte

• Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets $\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle$.
• Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr $\langle a,b\rangle = \overline{\langle b,a\rangle}$, wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Mengenoperation

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen A,B gilt also stets

$A\cup B = B\cup A$   (Vereinigung) und   $A\cap B = B\cap A$ (Schnitt).

Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ, in nichttrivialen Fällen (d. h. wenn A und B nicht disjunkt sind) sind also $A\setminus B$ und $B\setminus A$ verschiedene Mengen.

Matrizenrechnung

Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen im Allgemeinen nicht kommutativ. Für das Produkt einer quadratischen Matrix A mit deren inverser Matrix (ergibt die Einheitsmatrix) ist die Kommutativität der Multiplikation jedoch gegeben, ebenso für die Multiplikation einer beliebigen (quadratischen) Matrix mit der Einheitsmatrix. Ebenfalls kommutativ ist die Multiplikation einer (beliebigen) Matrix mit einem Skalar, sowie die Multiplikation im Unterring der Diagonalmatrizen.

Eine Gruppe von Matrizen, die bezüglich der Multiplikation vertauschen, nennt man abelsch.

Aussagenlogik

In der Aussagenlogik sind die Junktoren $\vee$ („oder“) und $\and$ („und“) kommutativ.

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie und Quantenmechanik.

Antikommutativität

In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim Kreuzprodukt in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art Gegenteil davon:

a * b = − b * a

Siehe auch

• Assoziativgesetz
• Distributivgesetz
• Flexibilitätsgesetz
• Symmetrie (Mengenlehre)

Literatur

Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.