Volkenborn-Integral

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Definition

Sei f eine gleichmäßig differenzierbare Funktion von $\Z_p$, dem Ring der p-adischen ganzen Zahlen, in $\Bbb C_p$, der Vervollständigung des algebraischen Abschlusses von $\Bbb Q_p$, dem Körper der p-adischen Zahlen. Das Volkenborn-Integral von f ist dann definiert durch

$\int_{\Bbb Z_p} f(x) \, {\rm d}x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^n} \sum_{x=0}^{p^n-1} f(x).$

Entstehung

Die Idee der Integration von p-adischen Funktionen hatten zunächst F. Thomas und F. Bruhat. Die Definition ihres translationsinvarianten p-adischen Integrals erwies sich aber als zu restriktiv für analytische und zahlentheoretische Zwecke. Arnt Volkenborn (* 11. Dezember 1942 in Rheydt) entwickelte in seiner Dissertation an der Universität zu Köln 1971 das später nach ihm benannte verallgemeinerte p-adische Integral. Mit dem Volkenborn-Integral werden alle lokal-analytischen Funktionen, wie die Laurent-Reihen, integrierbar. Anwendung erfährt das Volkenborn-Integral bei der Berechnung der sogenannten verallgemeinerten p-Bernoulli-Zahlen und weiteren p-adischen Funktionen.

Quellen

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Zeitschrift manuscripta mathematica. Band 7, Nummer 4. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1972, ISSN 0025-2611, S. 341–373.
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Zeitschrift manuscripta mathematica. Band 12, Nummer 1. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1974, ISSN 0025-2611, S. 17–46.
• Alain M. Robert: A Course on p-adic Analysis. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 0-387-98669-3, S. 263–279.
• Min-Soo Kim und Jin-Woo Son: Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers. In: Bulletin Korean Mathematical Society. Band 44, Nummer 1, 2007, S. 1–12.