Algebraischer Abschluss

In der Algebra ist ein algebraischer Abschluss L eines Körpers K ein algebraischer Erweiterungskörper von K, sodass in L alle Nullstellen aller Polynome mit Koeffizienten aus K liegen. Das Auffinden von Nullstellen von Polynomen ist eine wichtige mathematische Aufgabenstellung, in einem algebraischen Abschluss kann zumindest deren Existenz gesichert werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass es zu jedem Körper einen algebraischen Abschluss gibt.

Definitionen

Allgemein heißt ein Körper L algebraisch abgeschlossen, wenn eine, und damit jede, der folgenden äquivalenten Aussagen gilt:

• L enthält alle Nullstellen eines jeden Polynoms mit Koeffizienten aus L.
• Jedes Polynom aus dem Polynomring L[t] zerfällt in Linearfaktoren, also Polynome vom Grad 1.
• Ist L' eine algebraische Erweiterung von L, so folgt L' = L
• Jedes irreduzible Polynom in L[t] hat Grad 1.

Ein algebraischer Abschluss L eines Körpers K kann nun auf zweierlei Art definiert werden:

• L ist ein algebraischer Erweiterungskörper von K, der alle Nullstellen aller Polynome mit Koeffizienten aus K enthält.
• L ist ein algebraischer Erweiterungskörper von K, der algebraisch abgeschlossen ist, also alle Nullstellen aller Polynome mit Koeffizienten aus L enthält.

Die zweite Bedingung ist eine scheinbar stärkere Aussage, erweist sich aber als zur ersten äquivalent. Algebraische Abschlüsse sind zueinander K-isomorph, das heißt für algebraische Abschlüsse L,L' von K es gibt einen Körperisomorphismus $\varphi:L \to L'$, der eingeschränkt auf K die Identität ist. Wegen dieser Eindeutigkeitsaussage spricht man von dem algebraischen Abschluss. Der algebraische Abschluss von K hat dieselbe Mächtigkeit wie K, falls K unendlich ist, und ist abzählbar, falls K endlich ist.

Zur Existenz

Wenn L irgendein algebraisch abgeschlossener Oberkörper von K ist, so ist der Körper der über K algebraisch abgeschlossenen Elemente aus L offenbar ein algebraischer Abschluss. Man muss also nur die Existenz algebraisch abgeschlossener Oberkörper zeigen, was erstmals E. Steinitz im Jahre 1910 gelungen war.^[1]

Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zu jedem Körper K einen solchen finden, der alle Nullstellen aller Polynome über K enthält.

Eine Beweismöglichkeit besteht nun darin, von einer möglichst ökonomischen Konstruktion, dem sogenannten Zerfällungskörper bezüglich K[t], zu zeigen, dass dieser algebraisch abgeschlossen ist^[2]. Alternativ kann man nach einer auf E. Artin zurückgehenden Idee obige Konstruktion auch iterieren: Finde zu K = K₁ einen Oberkörper K₂, der alle Nullstellen von Polynomen über K₁ enthält, zu K₂ finde einen Oberkörper K₃, der alle Nullstellen aller Polynome über K₂ enthält, usw. Die Vereinigung L dieser aufsteigenden Menge von Körpern K_n ist wieder ein Körper und algebraisch abgeschlossen, denn ein Polynom über L hat endlich viele Koeffizienten, diese müssen alle in einem gemeinsamen Körper K_n liegen, die Nullstellen des Polynoms liegen dann konstruktionsgemäß alle in K_{n + 1} und damit in L.^[3]

Beispiele

• Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper der komplexen Zahlen $\Bbb C$ ein algebraischer Abschluss der reellen Zahlen $\Bbb R$ ist. Ist $\Bbb D$ ein anderer algebraischer Abschluss von $\Bbb R$ und sind j₁ und j₂ = -j₁ die Lösungen von x² = -1 in $\Bbb D$, so gibt es zwei Möglichkeiten, $\Bbb C$ und $\Bbb D$ miteinander zu identifizieren: Entweder i = j₁ oder i = j₂, und diese beiden Möglichkeiten sind gleichberechtigt.

• Ein algebraischer Abschluss der rationalen Zahlen $\Bbb Q$ ist der Körper der algebraischen Zahlen.

• Es gibt viele abzählbare algebraisch abgeschlossene echte Oberkörper der algebraischen Zahlen in $\Bbb C$. Sie sind algebraische Abschlüsse transzendenter Erweiterungen von $\Bbb Q$.

• Für einen endlichen Körper $\Bbb F_p$ der Primzahl-Ordnung p ist der algebraische Abschluss ein abzählbar unendlicher Körper der Charakteristik p, und enthält für jede natürliche Zahl n einen Teilkörper der Ordnung pⁿ, er besteht sogar aus der Vereinigung dieser Teilkörper.

Bedeutung

Die Bedeutung des algebraischen Abschlusses für das Auffinden von Nullstellen von Polynomen wurde bereits erwähnt, im algebraischen Abschluss hat jedes Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen, die mit Vielfachheiten zu zählen sind. Es wird nichts darüber ausgesagt, wie diese konkret zu finden sind, siehe Artikel Nullstelle.

In der algebraischen Geometrie untersucht man die Mengen von Nullstellen von Mengen von Polynomen über einem Körper, in der Regel über $\Q$. Um hier substanzielle Aussagen treffen zu können, muss man von $\Q$ zu einem algebraisch abgeschlossenen Oberkörper übergehen, um ausreichend viele Nullstellen sichern zu können. Der algebraische Abschluss selbst erweist sich als zu eng, man benötigt algebraisch abgeschlossene Oberkörper unendlichen Transzendenzgrades über $\Q$. Daher kommt hier in der Regel der Körper $\C$ zum Einsatz.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 137 (1910), Seiten 167-309
2. ↑ Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), Satz 6.10.6
3. ↑ Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner Verlag (1978), Teil III, Theorem 2.1.8