Wahrscheinlichkeiten bei Texas Hold’em

In diesem Artikel werden mathematische Wahrscheinlichkeiten bei Texas Hold’em, einer Spielvariante des Kartenspiels Poker, geschildert.

Starthand

Für die Stärke einer Starthand gilt ungefähr die folgende Tabelle. Je kleiner eine Zahl ist, desto besser ist die Hand. Offsuited Hände sind links bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen, Gleichfarbige Hände (suited) sind rechts bzw. oberhalb der Hauptdiagonalen.

Pre-Flop Strategie

	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	1	1	2	2	3	5	5	5	5	5	5	5	5
K	2	1	2	3	4	6	7	7	7	7	7	7	7
Q	3	4	1	3	4	5	7
J	4	5	5	1	3	4	6	8
T	6	6	6	5	2	4	5
9	8	8	8	7	7	3	4	5	8
8				8	8	7	4	5	6	8
7							8	5	5	7	8
6								8	6	5	7
5									8	6	6	8
4										8	7	7	8
3												7	8
2													7

Um die Wahrscheinlichkeiten für eine Starthand zu ermitteln, gibt es prinzipiell zwei Wege

Ergebnismenge

Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, dass man eine bestimmte Hand trifft. Um beispielsweise AA zu erhalten, gibt es, vorausgesetzt man ignoriert die Reihenfolge, sechs Möglichkeiten, nämlich A♠ A♥, A♠ A♦, A♠ A♣, A♥ A♦, A♥ A♣, A♦ A♣. Die Formel hierzu lautet

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$

also

$\frac{4!}{(2! \cdot (4-2)!)} = 6$

(n! sprich n Fakultät)

Insgesamt gibt es

$\frac{52 \cdot 51}{2!}= {52 \choose 2} = 1326$

verschiedene Starthände. Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse

$P = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei zweiundfünfzig Karten gibt es vier Asse im Deck. Die Wahrscheinlichkeit ein Ass zu erhalten, liegt also bei

$\frac{4} {52} = \frac{1}{13}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer fehlenden Karte, die ein Ass ist, ein Ass zu erhalten beträgt

$\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$

Daraus folgt also eine Wahrscheinlichkeit von...

$\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$

... dass man 2 Asse beim Austeilen erhält.

Analyse der Wahrscheinlichkeit

Insgesamt sind bei Texas Hold’em 1.326 verschiedene Starthände möglich. Die Farben wurden in die Rechnung miteinbezogen.

Durch die vorherigen Rechnungen erfahren wir, dass man im Durchschnitt bei jeder 221. Hand zwei Asse erhält.

Analyse der Starthände

Da im Poker alle Farben denselben Wert haben, sind viele der 1.326 möglichen Starthände zumindest vor dem Flop gleichwertig. Daher werden Hände vor dem Flop prinzipiell in drei Gruppen unterteilt

Informationen	Anzahl der Hände	Farben-Permutationen für jede Hand	Kombinationen	Bestimmte Hand des Typs		Irgendeine Hand des Typs
				Wahrscheinlichkeit	Wette	Wahrscheinlichkeit	Wette
Pocket Pair	13	${4 \choose 2} = 6$	13·6= 78	$\begin{matrix} \frac{6}{1326} \approx 4,53 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	220 : 1	$\begin{matrix} \frac{78}{1326} \approx 58,80 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	16 : 1
Gleiche Farben	78	${4 \choose 1} = 4$	78·4= 312	$\begin{matrix} \frac{4}{1326} \approx 3,02 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	331 : 1	$\begin{matrix} \frac{312}{1326} \approx 235,30 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	3.25 : 1
Unterschiedliche Farben	78	${4 \choose 1}{3 \choose 1} = 12$	78·12= 936	$\begin{matrix} \frac{12}{1326} \approx 9,05 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	110 : 1	$\begin{matrix} \frac{936}{1326} \approx 705,90 {}^{0\!}\!/\!_{00} \end{matrix}$	0.417 : 1

Folgend die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Hände

Hand	Wahrscheinlichkeit	Wette
AKs oder zwei andere bestimmte Suiteds	0,302 %	331 : 1
AA oder ein anderes bestimmtes Paar	0,454 %	220 : 1
AKs, KQs, QJs, oder JTs	1,207 %	82.9 : 1
AK oder ein anderes bestimmtes Nicht-Paar	1,207 %	82.9 : 1
AA, KK, oder QQ	1,375 %	72.7 : 1
Gleichfarbige Karten, J oder höher	1,840 %	54.3 : 1
AA, KK, QQ, JJ, oder TT	2,314 %	43.2 : 1
Gleichfarbige Karten, T oder höher	3,105 %	32.2 : 1
Suited Connectors	4,081 %	24.5 : 1
Connectors, T oder besser	5,076 %	19.7 : 1
Zwei Karten höher als J	5,235 %	19.1 : 1
Zwei Karten höher als T	9,901 %	10.1 : 1
Zwei Karten höher als 9	16,722 %	5.98 : 1
Connectors	18,587 %	5.38 : 1
Zwei Karten höher als 8	26,247 %	3.81 : 1
Weder Connected noch Suited, mindestens eine Karte unter T	53,400 %	0.873 : 1

Starthände im Heads up

Im heads up kann der gegnerische Spieler

$\frac{50 \cdot 49}{2} = {50 \choose 2} = 1225$

verschiedene Starthände haben. Nach dem Flop sinkt diese Zahl auf

$\frac{47 \cdot 46}{2} = {47 \choose 2} = 1081$

mögliche Hände.

Insgesamt gibt es im Heads-Up

${52 \choose 2}{50 \choose 2} \div 2 = 812.175$

verschiedene Konfrontationsmöglichkeiten, welche Karten die Spieler auf der Hand haben. Wir nehmen nun an, dass zwei Spieler ihre Hand bis nach dem River behalten und wir so einen Showdown sehen. Es gibt

${48 \choose 5} = 1.712.304$.

Möglichkeiten für die Gemeinschaftskarten. Daraus folgt, dass es

$1.712.304 \cdot 812.175 = 1.390.690.501.200$

also rund 1,39 Billion Möglichkeiten für die Verteilung der Gemeinschafts- und Hole Cards gibt.

Anm.: Rein mathematisch macht es keinen Unterschied, ob anfangs mehr Spieler mitgespielt haben, die ihre Karten aber weggelegt haben (abgelegte und nicht ausgeteilte Karten sind in der Rechnung beide gleichermaßen unberücksichtigt). Doch im Spiel hätten die Gegenspieler natürlich nur ein schlechtes Blatt abgeworfen. Hier wird also implizit davon ausgegangen, dass es von Anfang an nur zwei Spieler gewesen sind (Definition 1. von heads up), und dass es sich um ein komplett neues Blatt handelt.

Vergleich zweier Starthände

Folgende Tabelle beinhaltet Wahrscheinlichkeiten für den Ausgang eines Aufeinandertreffens der Starthände zweier Spieler

Favorit gegen Underdog	Wahrscheinlichkeit	Wette
Paar gegen Undercards	83 %	4.9 : 1
Paar gegen niedrigeres Paar	82 %	4.5 : 1
Paar gegen je eine Over- und Undercard	71 %	2.5 : 1
2 Over- gegen 2 Undercards	63 %	1.7 : 1
Paar gegen 2 Overcards	55 %	1.2 : 1

Diese Zahlen sind nicht ganz genau anzugeben, schließlich können auch die Farben der Karten Einfluss auf das Ergebnis haben.

Beispiel: A♠ A♣ gewinnt gegen K♠ Q♣ zu 87,65 % (0,49% zum Split Pot), gegen 6♦ 7♦ aber nur zu 76,81% (0,32% für Split Pot).

Weblinks

• Poker Hands Simulation by Olivier Leroux
• Mehrere Tabellen zu Wahrscheinlichkeiten bei Texas Holdem
• Analyse zur Auswirkung unterschiedlicher Farbvariationen beim Vergleich zweier Starthände
• Detail-Aufschlüsselung zu den unter Vergleich zweier Starthände genannten Beispielen