Wahrscheinlichkeiten beim Pokern

Die Pot Odds (engl. für Topf-Wettchancen) sind von Pokerspielern verwendete Berechnungen, die angeben, ob das Zahlen von Einsätzen statistisch rentabel ist. Sie werden zumeist in Prozent oder Verhältnissen angegeben. Während die Pot Odds lediglich ein Verhältnis zwischen Einsatz und möglichem Gewinn beschreiben, bezeichnet der im Zusammenhang verwendete Begriff Odds einen wirklichen Wahrscheinlichkeitswert. Die Odds bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, seine bisherige Hand zu verbessern, welche mit den Outs abgeschätzt werden kann. Die Outs bezeichnen dabei die Anzahl der Karten, die die eigene Hand verbessern. Durch den Vergleich der Odds mit den Pot Odds kann man bestimmen, inwieweit das Bezahlen des Einsatzes gewinnbringend ist.

Dabei ist zu beachten, dass die Abschätzungen dieses Artikels aufgrund des empirischen Gesetz der großen Zahlen nur im Mittel für eine ausreichend hohe Anzahl an Spielen gültig sind. Betrachtet man nur ein einziges Spiel, so kann man aufgrund des zufälligen Faktors keine Aussagen machen.

Pot Odds der Pokervariante Texas Hold’em

Berechnung von Outs und Odds

Als Outs bezeichnet man die Anzahl der zur Verbesserung der aktuellen Hand fähigen Karten, um eine gewinnfähige Hand zu bekommen.

Hat man zum Beispiel auf der Hand A♥ K♥ und auf dem Flop liegen 3♠ 5♥ 7♥, so benötigt man eine weitere Herzkarte, um aus dem Flush Draw einen vollständigen Flush zu machen. Im gesamten Spiel befinden sich 13 Karten mit der Farbe Herz. Vier davon (zwei auf der Hand, zwei auf dem Board) liegen bereits. Die restlichen neun Herzkarten sind nun die Outs.

Als Odds bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, eine der fehlenden out-Karten zu bekommen.

Da man seine Hole Cards und den Flop kennt, bleiben nach dem Flop von ehemals 52 noch 47 Karten übrig, in denen die Outs enthalten sind.

Die Wahrscheinlichkeit, seine Karten durch die Turn Karte zu verbessern, sind:

$P( \text{Verbesserung durch den Turn} ) = \frac{\text{Outs}}{47} \approx 2,12 \cdot \frac{\text{Outs}}{100}$

Ist der Turn auf dem Tisch, so sind noch 46 Karten unbekannt. Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit, seine Karten durch die River-Karte zu verbessern, fast das gleiche:

$P( \text{Verbesserung durch den River } ) = \frac{\text{Outs}}{46} \approx 2,17 \cdot \frac{\text{Outs}}{100}$

Aus der Anzahl der outs kann man mit der sogenannten Faustregel die Wahrscheinlichkeit in Prozent bestimmen, diese outs zu bekommen ^[1]:

$\begin{alignat}{2} \text{Prozentsatz Verbesserung durch eine Karte} &\approx 2 \cdot \text{Outs} + 1 \\ \text{Prozentsatz Verbesserung durch Turn oder River} &\approx 4 \cdot \text{Outs} \end{alignat}$

Die Wahrscheinlichkeiten für eine Verbesserung durch die Turn- oder Riverkarte werden später hergeleitet. Folgende Tabelle gibt aber schon einen Überblick der Faustregeln zu den im Poker besonders interessanten Händen:

Wichtige Wahrscheinlichkeiten für Verbesserung nach dem Flop/Turn

Aktuelle Hand	Outs	Wahrscheinlichkeit Turn + River Faustregel	Wahrscheinlichkeit Turn + River mathematisch exakt	Wahrscheinlichkeit River Faustregel	Wahrscheinlichkeit River mathematisch exakt
Flush Draw z.B.A♥ K♥ Flop:3♠ 5♥ 7♥	9 2♥ 3♥4♥6♥8♥ 9♥ 10♥B♥D♥	$4 \cdot 9 % = 36 %$	34,97 %	$(2 \cdot 9 + 1)%=19%$	19,56%
Open Ended Straight Draw z.B.10♥ B♣ Flop:8♠ 9♦ 2♥	8 7♦7♥7♠7♣ D♦D♥D♠D♣	$4 \cdot 8 % = 32 %$	31,45%	$(2 \cdot 8 + 1)%=17%$	17,39%
Doppelter Gutshot z.B.10♥ D♣ Flop:6♠ 8♦ 9♥	8 7♦7♥7♠7♣ B♦B♥B♠B♣	$4 \cdot 8 % = 32 %$	31,45 %	$(2 \cdot 8 + 1)%=17%$	17,39%
Gutshot z.B.10♥ D♣ Flop:5♠ 8♦ 9♥	4 B♦B♥B♠B♣	$4 \cdot 4 % = 16 %$	16,47 %	$(2 \cdot 4 + 1)%=9%$	8,7%
Flush Draw + Open Ended Straight Draw z.B.10♥ B♥ Flop:8♠ 9♥ 4♥	15 = 9 + 8 - 2 2♥3♥5♥6♥7♥8♥ D♥ K♥A♥ 7♦7♠7♣ D♦D♠D♣	$4 \cdot 15 % = 60 %$	54,12 %	$(2 \cdot 15 + 1)%=31%$	32%

Bei kombinierten Karten wie einem Flush Draw und einem Open Ended Straight Draw darf man die Karten, die beide Draws verbessern, nur einfach zählen. In unserem Beispiel verbessert die 7♥ und die D♥ sowohl den Flush als auch den Open Ended Straight Draw. Man hat also nicht 17 Outs, die man erhält, wenn man die neun vom Flush Draw plus acht vom Open Ended Straight Draw addiert. Bei vielen Outs erhält man mit der Faustregel für den Turn oder River (eine Karte) eine zu hohe (kleine) Prozentzahl.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Verbesserung durch die Turn- oder River-Karte erhält man über das Gegenereignis. Man berechnet also die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl am Turn als auch am River keine der Outs (wir bezeichnen sie hier mit O) zu sehen sind:

$\begin{align} P(\text{Verbesserung nach dem Flop}) & = 1-P(\text{keine Verbesserung nach dem Flop})\\ & = 1-\left(\frac{47 - O}{47} \cdot \frac{46 - O}{46}\right)\end{align}$

47 Karten sind nach dem Flop noch unbekannt, 47 − O Karten verbessern die Hand nicht. Nach dem Turn sind nur noch 46 Karten unbekannt, davon verbessern 46 − O Karten die Hand nicht. Die Wahrscheinlichkeit, seine Karten am Turn oder River zu verbessern, ist also:

$\begin{align}P( \text{Verbesserung nach dem Flop} ) & = 1 - \frac{47\cdot46 - (46+47)\cdot O + O^2 }{47\cdot46} \\ & = \frac{(46+47)\cdot O - O^2 }{47\cdot46} \\ & = 4\cdot O \frac{1}{100} - \frac{O \cdot (O-6.52) }{47\cdot46} \\ & \approx 4\cdot O \frac{1}{100}\end{align}$

Nachdem man die Wahrscheinlichkeit bestimmt hat, gegen eine beim Gegner vermutete Hand wie etwa Top Pair Top Kicker zu gewinnen, muss man dies noch gegen den zu zahlenden Einsatz, relativ zum zu erzielenden Gewinn, setzen, um zu bestimmen, ob sich der Einsatz lohnt.

Pot Odds

Als Pot Odds bezeichnet man das Verhältnis zwischen dem nötigen Betrag zum Bezahlen einer Wette und dem aktuellen Wert des Pots. Im Gegensatz zu den Odds sind die Pot Odds keine Wahrscheinlichkeiten, sondern nur das Verhältnis zwischen dem zu bringenden Einsatz und des möglichen Gewinns. Je geringer der Wert der Pot Odds ist, also je weniger Geld man setzen muss, um einen gewissen Betrag zu gewinnen, desto besser.

Wettet ein Gegner nach dem Flop 1€ in einen 5€ großen Pot, so beträgt der aktuelle Wert des Pots 6€. Man selbst müsste jetzt ebenfalls 1€ zahlen, um im Spiel zu bleiben. Die Pot Odds sind hier also 1:6. Unser Einsatz wäre also ein Siebtel des resultierenden Pots, oder als Prozentzahl ausgedrückt 14,29%.

Odds und Pot Odds

Vergleicht man die Odds mit den Pot Odds, so kann man es sich leichter machen zu setzen (Call) oder auszusteigen (Fold). Auf lange Zeit gesehen wird man damit auf der Gewinnerseite stehen.

Kleine Faustregel:

• Sind die Pot Odds größer als die Odds oder gleich, so kann man setzen.
• Sind die Pot Odds kleiner als die Odds, so ist es besser, auszusteigen.

Break Even Point

Der Break Even Point ist erreicht, wenn Odds und Pot Odds vom Zahlenwert gleich sind. Sind die Pot Odds höher als die Odds, so hat man eine spielbare Situation, da man mehr Geld gewinnen kann, als man durch den Einsatz möglicherweise verspielt.

Sind im Gegenzug dazu die Odds höher als die Pot Odds, so lohnt es sich nicht, eine Wette mitzugehen, da man im Mittel mehr Geld verspielt, als man durch Gewinn des Pots wieder hereinholt.

Beispiele für Break Even Point:

Man hat einen Open Ended Straight Draw nach dem Turn mit Odds von 17% nach der Faustregel (bzw. 17,39% real). Der Pot ist 4€ groß. Jemand bietet 1€, also ein Viertel des Pots. Macht es Sinn, diesen Einsatz zu callen, unter der Annahme, dass der Gegner ein oder mehrere Paar(e) bzw. einen Drilling hat? Mit einem Einsatz von ebenfalls 1€ bekommt man die Chance, 6€ zu gewinnen. Der Einsatz beträgt also 1/(4+1+1) = 1/6 = 16,67% des resultierenden Pots. Der Straight Draw hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von über 17%. Es ergibt also Sinn diesen Einsatz mitzugehen. Bei 100 Spielen dieser Situation würde man 100 mal 1€, also 100€, einsetzen, und in 17,39% der Fälle einen Pot von 6€, also 104,34€, gewinnen.

Falls man nur einen kleinen Stack hat, so kommen oft die Odds nach Turn und River zur Anwendung. Nach dem Flop hält man ein Flush Draw mit Odds von 36% nach der Faustregel (bzw. 34,97 % real). Der Pot beträgt 1€. Ein Gegner setzt einen Einsatz in Höhe des Pots. Ergibt es Sinn, diesen Einsatz zu callen, wenn man dabei All In gehen muss? Bei einem Gewinn würde sich der Stack verdreifachen. Mit 36% Gewinnwahrscheinlichkeit eine spielbare Situation.

Diese Argumentation ist jedoch nicht ganz korrekt bzw. vollständig, da (im ersten Beispiel) noch weitere Bietfolgen ausstehen, und der Gegner eine bessere Hand halten kann.

Odds Schreibweise

Es handelt sich dabei lediglich um eine andere Schreibweise für die oben eingeführten Wahrscheinlichkeiten:

Odds = nicht bekannte Karten : hilfreiche Karten.

Ein Open Ended Straight Draw (nach dem Turn) hat folgende Odds: $(46-8):8 = 38:8 \approx 5:1$, da von den 46 unbekannten Karten acht hilfreich sind. Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass man leichter bestimmen kann, ob ein Mitgehen sinnvoll ist. Ist der Pot im Verhältnis zum Einsatz, der zu bringen ist, größer als die so dargestellten Odds, so ist die Hand spielbar. Im ersten Beispiel sind 5€ im Pot und man müsste 1€ bringen, um gewinnbringend mitzuspielen. Man hat also Pott Odds von 5:1, was den Odds von 5:1 entspricht. Die Entscheidungsfindung ist so (wenn man sich die Odds in dieser Weise gemerkt hat) in der Praxis leichter anwendbar. Hier eine Übersicht über ein paar interessante Hände:

Aktuelle Hand	Outs	Odds Turn + River	Odds eine Karte
Flush Draw und Open Ended Straight Draw	15	0,9 : 1	2,1 : 1
Flush Draw und Gutshot	12	1,2 : 1	2,8 : 1
Flush Draw	9	1,9 : 1	4,1 : 1
Open Ended Straight Draw bzw. Doppelter Gutshot	8	2,2 : 1	4,8 : 1
Gutshot	4	5,1 : 1	10,5 : 1
Ein Paar in den Startkarten zum Drilling ausbauen	2	11 : 1	22,5 : 1

Implizierte Odds

In diese Rechnung wird nicht der aktuelle Pot miteinbezogen, sondern geschätzt, wie hoch der endgültige Pot sein wird. Die Differenz entsteht durch die zu erwartenden Einsätze der anderen Spieler in den folgenden Wettrunden.^[2]

Implied Odds enthalten daher immer ein spekulatives Element, nämlich in der Frage: Um wie viel größer wird der Pot sein, wenn ich meinen Draw am Ende komplettiere?

S     – Die maximal zu zahlende Summe
C     – Wahrscheinlichkeit die Hand zu verbessern, in Prozent
P     – Geschätzte, endgültige Potgröße

$S = C \cdot P$

Spielzüge in No-Limit-Spielen sind beispielsweise häufig mit gegebenen Implied Odds zu begründen, da man im besten Fall davon ausgehen kann, im weiteren Spielverlauf den gesamten Stack des Gegners zu gewinnen.

Reverse Implied Odds

Mit Reverse Implied Odds bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, nicht die Gewinnerhand zu halten, obwohl man eine der Karten erhält, die man zu seinen Outs zählt. Kommt im Eingangsbeispiel am Turn etwa die 9♥, so macht der Spieler mit A♥ K♥ zwar den bestmöglichen Flush, verliert aber gegen den Straight Flush eines Spielers, der 8♥ 6♥ hält. In dieser Situation läuft der Spieler mit A♥ K♥ Gefahr, einen großen Betrag an seinen Gegenspieler zu verlieren. Diese Gefahr gilt es bei der Überlegung, ob ein Call profitabel ist, zu berücksichtigen. Dazu werden die Outs je nach gehaltener Hand und Flop reduziert. Hält man bei einem Flush Draw nur kleine Karten, reduziert man seine Outs entsprechend. Sieht man Karten, die zu einer Straße führen, sollte man dies ebenfalls berücksichtigen. Auch die sogenannte Textur des Blattes muss beachtet werden. Hat man einen Straight Draw, so sollte man bei einem Flop einer Farbe seine Outs ebenfalls reduzieren. Steigen viele Gegner in die Hand ein, so steigt die Wahrscheinlichkeit, dass einer eine bessere Hand als man selbst hat.

Einzelnachweise

1. ↑ poker-institute.org Texas Hold'em Outs und Odds
2. ↑ Implied Odds In: Glossar von PokerStrategy.com.

Weblinks

• Ausrechnen der Pot Odds
• Tipps zur einfachen Berechnung der odds und outs
• Ausrechnen der Pot Odds (Benötigt Download)
• Grundkonzept der „Implied Odds“
• Pokerstrategie, Grundlagen: Pot Odds