Wechselwirkungs-Bild

Das Wechselwirkungsbild (auch als Wechselwirkungsdarstellung, Dirac-Bild oder Dirac-Darstellung bezeichnet) der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen.

Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:

• Der Hamilton-Operator des Systems ist gegeben durch $\hat H=\hat H_0+\hat H_1$, wobei $\hat H_0=\operatorname{const}$ der zeitunabhängige Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist und $\hat H_1$ die durch die Wechselwirkung verursachte Störung beschreibt, diese kann zeitabhängig sein. Es kann aber auch nützlich sein, ohne dass eine Wechselwirkung vorliegt, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators herbeizuführen.
• Zustände sind zeitabhängig: $|\psi\rangle=|\psi(t)\rangle$
• Operatoren sind ebenfalls zeitabhängig: $\hat A=\hat A(t)$
• Die Dynamik der Zustände wird beschrieben durch die angepasste Schrödinger-Gleichung, während die Dynamik der Operatoren durch die angepasste Heisenbergsche Bewegungsgleichung gegeben ist.
• Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen Störungstheorie.

Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. interaction) oder „D“ (wie Dirac-Bild) versehen: $|\psi_{\rm D}(t)\rangle$ bzw. $\hat A_{\rm D}(t) \, .$

Der Sinn dieses Bildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von $\hat H_0$ verursacht wird, in die zeitliche Abhängigkeit der Operatoren zu stecken, während die von $\hat H_1$ verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht. Dies ist jedoch nur ein anderes Bild und beschreibt „die gleiche Physik“, das heißt alle physikalisch relevanten Größen (Skalarprodukte, Eigenwerte usw.) bleiben die gleichen.

Es werden zwei Zeitentwicklungsoperatoren definiert:

• Der „normale“, der, wie in Zeitentwicklungsoperator erklärt, mit dem $\hat H$ definiert wird:

$\hat U(t,t_0)=\hat T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \hat H(t^\prime)dt^\prime\right)\right]$   mit dem Zeitordnungs-Operator $\hat T$

• Der nur von $\hat H_0$ erzeugte Zeitentwicklungsoperator:

$\hat U_0(t,t_0)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)\right)$

Der Erwartungswert a des Operators $\hat A$ muss in allen Bildern gleich sein:

$a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle$

$a=\langle \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{A}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|\hat{A}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle$

Der zeitabhängige Operator $\hat A_{\rm D}(t)$ ist (wie im Heisenberg-Bild) gegeben durch:

$\hat A_{\rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0)={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat A_{\rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}$

Der zeitabhängige Zustand $|\psi_{\rm D}(t)\rangle$ kann nur indirekt - über die Reduktion des (im Schrödinger-Bild) vollständig die Dynamik beschreibenden Zustandes $|\psi_{\rm S}(t)\rangle$ um den von $\hat H_0$ verursachten Anteil seiner Zeitentwicklung - definiert werden:

$|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle$

Damit lässt sich der Operator $\hat H_{1 \rm D}(t)$ definieren:

$\hat H_{1 \rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0) ={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}$

Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators $\hat H_0$ ist im Wechselwirkungsbild identisch mit dem im Schrödingerbild:

$\hat H_{0 \rm D}(t) = \hat H_{0 \rm S}$

Die Dynamik der Zustände wird (ähnlich dem Schrödinger-Bild) beschrieben durch die Gleichung:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat H_{1 \rm D}(t)\,|\psi_{\rm D}(t)\rangle$

Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem nicht zeitabhängigen Hamilton-Operator $\hat H_0$, der das ungestörte System beschreibt:

$i\hbar\frac{{\rm d} \hat A_{\rm D}}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm D}(t),\hat H_0\right] +i\hbar\frac{\partial \hat A_{\rm D}}{\partial t}$

Mit $\hat H_{1 \rm S} = \hat H_{1 \rm D} = 0$ geht das Diracbild in das Heisenbergbild über.

Zum Zeitpunkt t₀ stimmen alle drei Bilder überein:

$\hat{A}_{\text{D}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{H}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})$

$|\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle$

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von $\hat U_0$ und $\hat U_0^{\dagger}$ ermittelt:

$\begin{align} &\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=-\frac{i}{\hbar }\hat{U}(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}(t,t_{0})\\ &\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=\frac{i}{\hbar }\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \end{align}$

Bewegungsgleichung für die Zustände:

$\begin{align} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \right)}_{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-\hat{H}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)}_{(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1 \rm S})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } \\ &=\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{H}_{1 \rm D}(t)}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }_{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }=\hat{H}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle \end{align}$

Bewegungsgleichung für die Operatoren:

$\begin{align} i\hbar \frac{\text{d}\hat{A}_{\text{D}}}{\text{d}t}&=i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0} \right)=\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\hat{U}_{0}^{\dagger }\, \right)}_{-\hat{H}_{0}\hat{U}_{0}^{\dagger }}\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}+\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\hat{U}_{0} \right)}_{\hat{U}_{0}\hat{H}_{0}}+i\hbar \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\left( \frac{\partial }{\partial t}\hat{A}_{\text{S}} \right)\,\hat{U}_{0}}_{\frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}} \\ &=-\hat{H}_{0}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}\hat{H}_{0}+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}=\left[ \hat{A}_{\text{D}},\hat{H}_{0} \right]+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t} \end{align}$

Literatur

• Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin
• Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin

Siehe auch

• Schrödinger-Bild
• Heisenberg-Bild