Quantenchromodynamik

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Die Quantenchromodynamik (QCD) ist eine Quantenfeldtheorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung. Sie beschreibt die Wechselwirkung von Quarks und Gluonen, also der fundamentalen Bausteine der Atomkerne.

Einleitung

Die QCD ist wie die Quantenelektrodynamik (QED) eine Eichtheorie. Aber während die QED auf der abelschen Eichgruppe U(1) beruht und die Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen (z. B. Elektron oder Positron) mit Photonen beschreibt, wobei die Photonen selbst ungeladen sind, ist die Eichgruppe der QCD, die SU(3), nicht-abelsch. Die Wechselwirkungsteilchen der QCD sind die Gluonen und an die Stelle der elektrischen Ladung als Erhaltungsgröße tritt die Farbladung (daher kommt der Name, Chromodynamik).

Analog zur QED, die nur die Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen betrifft, behandelt die QCD ausschließlich Teilchen mit „Farbladung“, die sogenannten Quarks. Quarks haben drei verschiedene Farbladungen, die als rot, grün und blau bezeichnet werden. Diese Benennung ist lediglich eine bequeme Konvention; eine Farbe im umgangssprachlichen Sinn besitzen Quarks nicht. Die Anzahl der Farben entspricht dem Grad der Eichgruppe der QCD, also der SU(3). Die Wellenfunktionen der Baryonen sind antisymmetrisch bezüglich der Farbindices, wie es vom Pauliprinzip gefordert wird. Im Unterschied zum elektrisch neutralen Photon in der QED tragen jedoch die Gluonen selbst Farbladung und wechselwirken daher auch miteinander. Die Farbladung der Gluonen besteht aus einer Farbe und einer Anti-Farbe, so dass Gluonenaustausch meist zu „Farbänderungen“ der beteiligten Quarks führt. Die Wechselwirkung der Gluonen bewirkt, dass die Anziehungskraft zwischen den Quarks bei großen Entfernungen zunimmt, ähnlich wie bei einer gespannten sehr steifen Feder oder einem Gummifaden. Wird eine bestimmte Spannung überschritten, reißt der Faden – in der QCD wird in dieser Analogie bei Überschreitung eines gewissen Abstands die Feldenergie so hoch, dass sie in die Bildung neuer Mesonen umgesetzt wird. Daher treten Quarks niemals einzeln auf, sondern nur in gebundenen Zuständen, den Hadronen (Confinement). Das Proton und das Neutron - auch Nukleonen genannt, da aus ihnen die Atomkerne bestehen - sowie die Pionen sind Beispiele für Hadronen. Zu den von der QCD beschriebenen Objekten gehören auch hypothetische Hadronen wie die Tetra- und Pentaquarks.

Da Quarks sowohl eine elektrische als auch eine Farbladung besitzen, wechselwirken sie sowohl elektromagnetisch als auch stark. Da die elektromagnetische Wechselwirkung aber deutlich schwächer ist als die starke Wechselwirkung, kann man ihren Einfluss bei der Wechselwirkung von Quarks in der Regel vernachlässigen und sich daher nur auf den Einfluss der Farbladung beschränken.

Durch ihre nichtabelsche Struktur und hohe Kopplungsstärken sind Rechnungen in der QCD häufig aufwendig und kompliziert. Erfolgreiche quantitative Rechnungen stammen meist aus der Störungstheorie oder von Computersimulationen. Die Genauigkeit der Vorhersagen liegt typischerweise im Prozentbereich. So konnte eine Vielzahl der theoretisch vorhergesagten Werte experimentell verifiziert werden.

Die Quantenchromodynamik ist ein wesentlicher Bestandteil des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.

Abgrenzung zur Kernphysik

Die Stärke der Wechselwirkung führt dazu, dass Protonen und Neutronen im Atomkern viel stärker aneinander gebunden sind als etwa die Elektronen an den Atomkern. Die Beschreibung der Nukleonen ist jedoch ein offenes Problem. Die Quarks besitzen nur 5 % der Masse der Nukleonen, die restlichen 95 % der Nukleonenmasse entstammen der Bindungsenergie der starken Wechselwirkung und der Bewegungsenergie der Quarks und Gluonen, welche die Nukleonen aufbauen. Die dabei involvierten Kopplungsprozesse sind dynamisch und in der Regel nicht perturbativ: Die Protonen und Neutronen selbst sind farblos und ihre Wechselwirkung wird statt durch die Quantenchromodynamik meist durch eine effektive Theorie beschrieben. Die anziehende Kraft zwischen ihnen beruht nach dieser Theorie auf dem Austausch von Mesonen, insbesondere der leichten Pionen. Die Beschreibung des Verhaltens der Nukleonen über Mesonenaustausch im Atomkern und in Streuexperimenten ist Gegenstand der Kernphysik.

Die starke Wechselwirkung zwischen den Nukleonen im Atomkern ist also viel wirksamer als ihre elektromagnetische Wechselwirkung. Dennoch ergibt die elektrostatische Abstoßung der Protonen ein wichtiges Stabilitätskriterium für Atomkerne. Die starke Wechselwirkung zwischen den Nukleonen wird nämlich, im Gegensatz zur Wechselwirkung zwischen den Quarks, mit zunehmender Entfernung der Nukleonen exponentiell kleiner. Dies liegt an der Tatsache, dass die beteiligten Austauschteilchen im Pion-Austauschmodell eine Masse ungleich Null besitzen. Daher liegt die Reichweite r_c der Wechselwirkung zwischen den Nukleonen bei $r_c=\frac{\hbar}{m_{\pi}\cdot c}\cong 10^{-13}$ cm, also in der Größenordnung der Compton-Wellenlänge der π-Mesonen (m_π ist die Masse des Pions).

Während die Kernkräfte exponentiell mit dem Abstand kleiner werden,

$\phi_K(r)\propto\frac{1}{r}\cdot\exp\left(-\frac{r}{r_c}\right)$ (Yukawa-Potential),

fällt die elektromagnetische Wechselwirkung nur nach dem Potenzgesetz ab

$\phi_{EM}(r)\propto\frac{1}{r}$ (Coulomb-Potential),

da deren Austauschteilchen, die Photonen, keine Masse besitzen und die Wechselwirkung damit eine unendliche Reichweite hat.

Die starke Wechselwirkung ist also im Wesentlichen auf Abstände der Hadronen, wie sie z. B. im Atomkern auftreten, beschränkt.

Nichtabelsche Eichgruppe

Die der QCD zugrundeliegende Eichgruppe SU(3) ist nicht-abelsch, das heißt die Multiplikation von zwei Gruppenelementen ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Das führt dazu, dass in der Lagrange-Dichte Terme auftreten, die eine Wechselwirkung der Gluonen miteinander bewirken. Aus demselben Grund tragen die Gluonen Farbladung. Diese Selbstwechselwirkung führt dazu, dass die renormierte Kopplungskonstante der QCD sich qualitativ genau entgegengesetzt zur Kopplungskonstante der QED verhält: Sie nimmt für hohe Energien ab. Dies führt bei hohen Energien zum Phänomen der asymptotischen Freiheit und bei niedrigen Energien zum Confinement. Erst bei extrem hohen Temperaturen, T>5x10¹² Kelvin, und/oder entsprechend hohem Druck, wird anscheinend das Confinement aufgehoben und es entsteht ein Quark-Gluon-Plasma.

Asymptotische Freiheit bedeutet, dass die Quarks sich bei hohen Energien (kleine typische Abstände) wie freie Teilchen verhalten, was konträr zum Verhalten sonstiger Systeme ist, wo schwache Wechselwirkung mit großen Abständen verbunden ist. Confinement bedeutet, dass unterhalb einer Grenzenergie die Kopplungskonstante so groß wird, dass Quarks nur noch in Hadronen auftreten. Da die Kopplungskonstante α_s der QCD bei niedrigen Energien kein kleiner Parameter ist, kann die Störungstheorie, mit der sich viele Probleme der QED lösen lassen, nicht angewendet werden. Ein Ansatz zur Lösung der QCD-Gleichungen bei niedrigen Energien sind dagegen Computersimulationen von Gittereichtheorien.

Ein weiterer Ansatz zur quantenfeldtheoretischen Behandlung von Hadronen ist die Verwendung von effektiven Theorien, die für große Energien in die QCD übergehen und für kleine Energien neue Felder mit neuen „effektiven“ Wechselwirkungen einführen. Ein Beispiel für solche "effektive Theorien" ist ein Modell von Nambu und Jona-Lasinio. Je nach den zu beschreibenden Hadronen verwendet man verschiedene effektive Theorien. Die chirale Störungstheorie (chiral perturbation theory, CPT) wird für Hadronen verwendet, die nur aus leichten Quarks, also Up-, Down- und Strange-Quarks, aufgebaut sind, die nach der CPT über Mesonen miteinander wechselwirken. Für Hadronen mit genau einem schweren Quark, also einem Charm- oder Bottom-Quark, und sonst nur leichten Quarks wird die effektive Theorie schwerer Quarks (heavy quark effective theory, HQET) verwendet, in welcher das schwere Quark als unendlich schwer angenommen wird, ähnlich der Behandlung des Protons im Wasserstoffatom. Das schwerste Quark, das "top-Quark", ist so hochenergetisch (E₀ ~ 170 GeV ), dass sich in seiner kurzen Lebenszeit τ  $(\tau\approx h/E_0)\,,$ mit der Planck'schen Konstante h, keine gebundenen Zustände bilden können. Für Hadronen aus zwei schweren Quarks (gebundene Zustände im Quarkonium) wird die sogenannte nichtrelativistische Quantenchromodynamik (nonrelativistic quantum chromodynamics, NRQCD) verwendet.

Lagrangedichte der QCD

Die QCD ist eine relativistische Quantenfeldtheorie mit der eichinvarianten Lagrangefunktion

$\begin{align} \mathcal{L}_\mathrm{QCD}(q, A) & = \bar{q}\left(i \gamma^\mu D_\mu - m \right) q - \frac{1}{4}F^a_{\mu \nu} F^{\mu \nu}_a \\ & = \bar{q} (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) q + g \bar{q} \gamma^\mu T_a q A^a_\mu - \frac{1}{4}F^a_{\mu \nu} F^{\mu \nu}_a \\ \end{align}$

Aus $\bar{q}\left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) q$ erhält man durch Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichung auf diesen Teil von $\mathcal{L}$ die bekannte Dirac-Gleichung und damit

• den Propagator für Quarks

Der Term $g \bar{q} \gamma^\mu T_a q A^a_\mu$ beschreibt

• die Wechselwirkungs-Vertices zwischen Quarks und Gluonen (q-A-Wechselwirkung)

Aus dem Term mit $F^a_{\mu \nu} F^{\mu \nu}_a$ erhält man nicht nur

• die Propagatoren für Gluonfelder, sondern auch
• die 3-Gluon-Gluon-Wechselwirkungs-Vertices
• und die 4-Gluon-Gluon-Wechselwirkungs-Vertices

Diese Selbstwechselwirkungsterme der Gluonen, eine Folge der nicht-kommutierenden Generatoren bei nichtabelschen Eichgruppen, stellen den eigentlichen Unterschied zur Lagrangedichte der QED dar.

Aus den einzelnen Termen der Lagrangedichte folgen so die Regeln für Feynmandiagramme in der störungstheoretischen QCD. Es muss allerdings für konkrete Berechnungen noch eine Eichfixierung durchgeführt werden.

Im Einzelnen treten oben folgende Größen auf:

$q \,$, das Quarkfeld (und $\bar q = q^\dagger \gamma^0$ das adjungierte Quarkfeld im Sinne der Dirac´schen relativistischen Quantenmechanik) mit Masse m

$\gamma^\mu \,$, die Dirac-Matrizen mit μ = 0 bis 3

$A^a_\mu \,$, die acht Eichbosonenfelder (Gluonfelder, a =1 bis 8, entsprechend durch die Gluonen bewirkten Farbänderungen)

$D_\mu=\partial_\mu - igT_aA^a_\mu \,$, die kovariante Ableitung

$\,g$, die Quark-Gluon Kopplungskonstante

$T_a \,$, ein Erzeugender der Eichgruppe SU(3) (a = 1 bis 8), mit den Strukturkonstanten $f^{abc} \,$ (siehe Artikel Gell-Mann-Matrizen)

$F^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_{\nu} - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{abc} A^b_\mu A^c_\nu \,$, der Feldstärketensor des Eichbosonenfeldes.

Wegen "Div Rot = 0" gibt die Summe der ersten beiden Terme auf der rechten Seite des Feldstärketensors bei Divergenzbildung immer Null, im Unterschied zum nicht-abelschen Anteil, ~ g.

(Das Hinauf- und Hinabziehen zwischen unteren und oberen Indizes geschieht bezüglich a immer mit der trivialen Signatur, +, so dass also für die Strukturkonstanten $f^{abc}\equiv f_{abc}\equiv f^a_{bc}$ gilt. Bezüglich der μ und ν erfolgt es dagegen mit der relativistischen Signatur, (+−−−).)

Quark-Antiquark-Potential

Ein Quark und ein Antiquark bilden zusammen ein Meson. (Resultat einer Gitter-QCD-Simulation, s.u. Aus M. Cardoso et al. ^[1])

Aus dem Vergleich von Energieniveauschemas z. B. von Positronium und Charmonium lässt sich mithilfe dieser Lagrangefunktion zeigen, dass sich die starke Wechselwirkung und die elektromagnetische Wechselwirkung nicht nur quantitativ unterscheiden: Zwar verhält sich das Quark-Antiquark-Potential bei kleinen Abständen ähnlich wie bei der elektromagnetischen WW (der Term ~ α entspricht der Coulomb-Anziehung entgegengesetzter Farbladungen). Bei größeren Abständen ergibt sich dagegen wegen der oben erwähnten Feder-Analogie ein wesentlich anderes Verhalten, das von den Gluonen verursacht wird und auf "Confinement" hinausläuft. Es entspricht der Elastizität eines verstreckten Polymers (Gummielastizität).

Insgesamt ist die effektive potentielle Energie:

$V(r)=-\frac{4}{3}\frac{\alpha_s(r)\hbar c}{r}+k\cdot r\,,$

mit der vom Impulsübertrag Q² (und damit vom Abstand r) abhängigen, starken Kopplungs-„konstanten“ („gleitende Kopplung“) α_s. Für sie gilt in erster Ordnung der Störungstheorie

$\alpha_s(Q^2) = \frac{12\cdot\pi}{(33-2n_f)\cdot \ln(Q^2/\Lambda^2)}\,,$

mit der (auch von Q² abhängigen) Anzahl der beteiligten Quarkfamilien $n_f\,.$

Der linear mit dem Radius zunehmende Term beschreibt das Confinement-Verhalten, während der erste Term eine Coulomb-Form besitzt und für sehr hohen Energien, bei denen $\alpha_s \ll 1$ klein ist, Rechnungen in Störungstheorie erlaubt. Mit n_f  fließt hier in das Verhalten auch die Anzahl der Familien (Flavor-Freiheitsgrade) des Standardmodells der Elementarteilchenphysik ein.

Der charakteristische Radius, $R_c=\sqrt{\frac{4\hbar c\alpha_s/3}{k}}\,,$ bei dem das Verhalten von V(r) „umschlägt“ (bei diesem Radius ist das Potential gleich Null), kann mit dem Radius der vormaligen Bag-Modelle der Hadronen in Beziehung gebracht werden;^[2] (Größenordnung von R_c: 1 fm (=10^-15 m)).

Das nebenstehende Bild zeigt aber explizit, dass in einem Meson nicht nur die Teilchen, Quarks und Antiquarks, sondern auch die „Flussschläuche“ der Gluonfelder wichtig sind, und dass Mesonen bei den betrachteten Energien keineswegs Kugelform haben.

Gittereichtheorie

→ Hauptartikel: Gittereichtheorie

Computersimulationen der Quantenchromodynamik führt man heutzutage meist im Rahmen der Gittereichtheorien durch (in Anlehnung an die englischsprachige Literatur spricht man auch von der „Gitter-QCD“). Inzwischen gibt es eine wachsende Anzahl quantitativ relevanter Resultate, die sich z. B. in den jährlichen Berichten der Fachkonferenz „International Symposium on Lattice Field Theory“ (kurz: Lattice, zuletzt 2010 ^[3]) verfolgen lassen. Trotzdem ist die Gittereichtheorie selbst in der Hochenergiephysik nicht auf die Quantenchromodynamik beschränkt.^[4]

Der wesentliche Ansatz der Gittereichtheorie besteht in einer geeigneten Diskretisierung des Wirkungsfunktionals. Dazu werden zunächst die drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension der relativistischen Quantenfeldtheorie in vier in klassischer statistischer Mechanik zu behandelnde euklidische Dimensionen überführt. Ausgehend von dieser schon vorher bekannten Vorgehensweise, vgl. Wick-Rotation, war es nun möglich den sogenannten Wilson-Loop, der die Eichfeldenergie in Schleifenform darstellt, auf ein hyperkubisches Gitter mit nicht-verschwindendem Gitterabstand zu übertragen, wobei die Eichinvarianz bewahrt wird. Diese Formulierung erlaubt den Einsatz numerischer Methoden auf leistungsstarken Computern. Besondere Anforderungen ergeben sich für die Gitter-QCD aus dem Bestreben, einerseits eine möglichst gute Approximation der chiralen Symmetrie zu erhalten und die systematischen Fehler zu kontrollieren, die sich durch den endlichen Gitterabstand zwingend ergeben (das erfordert hinreichend kleine  Gitterabstände), sowie andererseits die Rechenzeit möglichst gering zu halten (das erfordert hinreichend große  Gitterabstände).

Einer der größten Erfolge solcher Simulationen ist die Berechnung aller Meson- und Baryon-Grundzustände, die Up, Down oder Strange-Quarks enthalten. ^[5]

Forscher und Nobelpreise

Einer der Begründer der Quantenchromodynamik (und davor des Quarkmodells), Murray Gell-Mann, bei dem auch der gerade genannte Kenneth Wilson promoviert hatte, erhielt für seine schon damals, vor Einführung der QCD, zahlreichen Beiträge zur Theorie der starken Wechselwirkung bereits 1969 den Nobelpreis der Physik. Bei seinen Pionierarbeiten zur QCD arbeitete er mit Harald Fritzsch und Heinrich Leutwyler zusammen.

1999 erhielten Gerardus 't Hooft und Martinus J.G. Veltman den Nobelpreis "for elucidating the quantum structure of electroweak interactions in physics". In ihren Arbeiten hatten sie tiefe Einsichten in die Renormierbarkeit von nichtabelschen Eichtheorien, also auch der QCD gewonnen.

Am 5. Oktober 2004 wurden David Gross, David Politzer und Frank Wilczek für ihre Arbeiten zur Quantenchromodynamik der „starken Wechselwirkung“ mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet. Sie entdeckten Anfang der 1970er Jahre, dass die starke Wechselwirkung der Quarks schwächer wird, je näher sie sich sind. In direkter Nähe verhalten sich Quarks gewissermaßen wie freie Partikel, was die Ergebnisse der damaligen tiefinelastischen Streuexperimente theoretisch begründete.

Literatur

• Christoph Berger: Elementarteilchenphysik. Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-23143-9.
• Walter Greiner, Andreas Schäfer: Quantenchromodynamik. In: Theoretische Physik Bd.10. Harri Deutsch, 2007. ISBN 3-8171-1618-7.
• Harald Fritzsch: Quarks – Urstoff unserer Welt. Aktualisierte Neuausgabe. Piper Verlag, München 2006. ISBN 978-3-492-24624-8.
• Harald Fritzsch: Elementarteilchen. C.H.Beck, München 2004, ISBN 3-406-50846-4.
• Günther Dissertori u.a.: Quantum chromodynamics – high energy experiments and theory. Clarendon, Oxford 2005. ISBN 0-19-850572-8
• Pietro Colangelo u.a.: QCD@WORK – Theory and Experiment. American Inst. of Physics, Melville, NY 2001. ISBN 0-7354-0046-6

Weblinks

• Stephen L. Adler: Remarks on the History of Quantum Chromodynamics

Einzelnachweise

1. ↑ M. Cardoso et al., Lattice QCD computation of the colour fields for the static hybrid quark-gluon-antiquark system, and microscopic study of the Casimir scaling, Phys. Rev. D 81, 034504 (2010) ).
2. ↑ Kenneth A. Johnson, The bag model of quark confinement, Scientific American, Juli 1979.
3. ↑ Proceedings of the 28th International Symposium on Lattice Field Theory (Lattice 2010), Villasimius, Sardinia, Italy, June 14-19, 2010
4. ↑ E. Fradkin und S.H. Shenker: Phase diagrams of lattice gauge theories with Higgs fields, Phys. Rev. D 19, 3682-3697 (1979) .
5. ↑ S. Dürr et al., Ab initio determination of light hadron masses, Science 322, 5905 (2008) ).