Wiener-Filter

Der Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welcher in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt ^[1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.^[2] Er führt eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links Original. Mitte Bild mit Rauschen. Rechts gefiltertes Bild

Eigenschaften

Der Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:^[3]

1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
2. Fehlerkriterium: Minimale quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal $s\left(t\right)$ gestört durch ein additives Rauschen $n\left(t\right)$ vorausgesetzt.

y(t) = s(t) + n(t)

Das Ausgangssignal $x\left(t\right)$ ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion $g\left(\tau\right)$:

$x(t) = g(\tau) * y(t) = g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right)$

Fehler $e(t) = s\left(t + d\right) - x(t)$ und quadratische Fehler $e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t)$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal $s\left(t + d\right)$. Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

• Für $\left.d > 0\right.$ : Prädiktion
• Für $\left.d = 0\right.$ : Filterung
• Für $\left.d < 0\right.$ : Glättung

Stellt man $x\left(t\right)$ als Faltungsintegral dar:

$x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau}$,

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

$E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{y\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_y(\tau - \theta)d\tau}d\theta}$

wobei

• R_s die Autokorrelation der Funktion $\left.s(t)\right.$
• R_y die Autokorrelation der Funktion $\left.y(t)\right.$
• $R_{y\,s}$ die Kreuzkorrelation der Funktionen $\left.y(t)\right.$ und $\left.s(t)\right.$ sind

Wenn das Signal $s\left(t\right)$ und das Rauschen $n\left(t\right)$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

• $R_{y\,s} = R_s$
• R_y = R_s + R_n

Das Ziel ist es nun, $\left.E(e^2)\right.$ durch Bestimmung eines optimalen $g\left(t\right)$ zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Der Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

$G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}$

Unter der Voraussetzung, dass $g\left(t\right)$ optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt zu

$E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}$.

Die Lösung $g\left(t\right)$ ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von $\left.G(s)\right.$.

Kausale Lösung

$G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}$

Wobei

• $\left.H(s)\right.$ die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von $\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}$,
• $S_x^{+}(s)$ die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von $\left.S_{x}(s)\right.$ und
• $S_x^{-}(s)$ die negative Lösung der inversen Laplace Transformation von $\left.S_x(s)\right.$ ist.

Siehe auch

• Kalman-Filter

Einzelnachweise

1. ↑ Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Springer, 1996.
2. ↑ Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York 1949.
3. ↑ Robert Grover Brown and Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3. Auflage. Wiley, New York 1996, ISBN 0-471-12839-2.