Mittlere quadratische Abweichung

Mittlere quadratische Abweichung
Zwei Schätzfunktionen: Die Wahl einer verzerrten Statistik kann hinsichtlich ihrer erwarteten Abweichung vom echten Wert gegenüber einer unverzerrten vorteilhaft sein.

Die mittlere quadratische Abweichung oder mittlerer quadratischer Fehler (engl. mean squared error und daher mit „MSE“ abgekürzt) ist ein Begriff der mathematischen Statistik. Mit der mittleren quadratischen Abweichung kann die Abweichung eines Schätzers von dem zu schätzenden Wert (oder allgemeiner: von Funktionalen von ihnen) berechnet werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es seien X eine Zufallsvariable und g eine messbare Funktion dieser Variablen. Wenn damit der wahre Parameter γ geschätzt werden soll, dann ist die mittlere quadratische Abweichung des Schätzers g(X) für γ wie folgt definiert:

\mbox{MSE}(g,\gamma) = E [ \| g(X) - \gamma \|^2]\;

Im klassischen Falle reellwertiger Funktionen heißt das dann:

\operatorname{MSE}(g,\gamma)  = \operatorname{Bias}^2(g(X))+ \operatorname{Var}(g(X))

Dabei ist die Verzerrung \operatorname{Bias}(g(X)) = E[g(X) - \gamma] , verschwindet also im Fall der Erwartungstreue, in dem der MSE und die Varianz identisch werden.

Interpretation

Eine geringe mittlere quadratische Abweichung bedeutet im klassischen Fall, dass gleichzeitig Bias und Varianz des Schätzers klein sind. Man befindet sich mit dem Schätzer also im Mittel in der Nähe des zu schätzenden Funktionals (geringer Bias) und weiß gleichzeitig, dass die Schätzwerte wenig streuen (geringe Varianz) und mit großer Wahrscheinlichkeit auch in der Nähe ihres Erwartungswerts liegen.

Mit dem MSE ist es daher möglich, Schätzverfahren miteinander zu vergleichen. Die Idee ist, dass es vorteilhaft sein kann, einen leicht verzerrten Schätzer zu bevorzugen, der dafür eine wesentlich kleinere Varianz besitzt. Dabei gilt das Schätzverfahren mit dem kleineren MSE in der Regel als das bessere.

Problematisch ist, dass der MSE vom zu schätzenden, unbekannten Grundgesamtheitsparameter abhängt.

Beispiel

Ein typischer Fall ist die Schätzung des Mittelwerts einer Normalverteilung. Wir nehmen an, dass Zufallsvariablen X_1, \ldots, X_n\; existieren, die jeweils normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert γ und Varianz 1 sind. Der klassische Schätzer ist das Stichprobenmittel \bar{X}_n. Hier ist die Verzerrung null:

\operatorname{Bias}(\bar{X}_n) = 0

da der empirische Mittelwert erwartungstreu für γ ist. Da \bar{X}_n selbst normalverteilt mit Erwartungswert γ und Varianz \tfrac{1}{n} ist, folgt

\operatorname{MSE}(\bar{X}_n) = \frac{1}{n}.

Ausweitung auf beliebige Verlustfunktionen

Eine Verallgemeinerung der mittleren quadratischen Abweichung ergibt sich, wenn man in der Definition an Stelle des quadratischen Abstandes von Schätzer und unbekanntem Funktional eine beliebige andere Funktion L\; ersetzt, die

  • symmetrisch ist,
  • Werte in \mathbb R^{+}_{0} besitzt und
  • in beiden Komponenten konvex ist.

Abbildungen dieser Art heißen Verlustfunktion, das Risiko eines Schätzers g\; ist dann definiert als

\operatorname{R}_\vartheta(g) = E_{\vartheta}[L(g(X), \gamma (\vartheta))].

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • mittlere quadratische Abweichung — mittlere quadratische Abweichung,   Statistik: die Varianz …   Universal-Lexikon

  • mittlere quadratische Abweichung — vidutinis kvadratinis nuokrypis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. root mean square deviation vok. mittlere quadratische Abweichung, f rus. среднеквадратическое отклонение, n pranc. écart moyen quadratique, m …   Automatikos terminų žodynas

  • mittlere quadratische Abweichung — eksperimentinis vidutinis kvadratinis nuokrypis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. experimental root mean square deviation vok. mittlere quadratische …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • mittlere quadratische Abweichung — vidutinis kvadratinis nuokrypis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. root mean square deviation vok. mittlere quadratische Abweichung, f rus. средне квадратичное отклонение, n pranc. écart moyen quadratique, m; écart quadratique moyen, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Mittlere Teilchengeschwindigkeit — Maxwell Boltzmann Verteilung Parameter Definitionsbereich Wahrscheinlichkeitsdichte …   Deutsch Wikipedia

  • Streuung (Ballistik) — Die Streuung ist die Abweichung einer Serie von Treffern von einem gemittelten Zielpunkt. Die Streuung ist eine Größe der Außenballistik. Die Bahnen von abgefeuerten Projektilen haben nie den exakt gleichen Verlauf, so dass es praktisch… …   Deutsch Wikipedia

  • Kernel-Regression — Unter Kernel Regression versteht man eine Reihe nichtparametrischer statistischer Methoden, bei denen die Abhängigkeit einer zufälligen Größe von Ausgangsdaten mittels Kerndichteschätzung geschätzt werden. Die Art der Abhängigkeit, dargestellt… …   Deutsch Wikipedia

  • Erwartungstreu — Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit, engl. unbiasedness) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem ein Aspekt der Qualität einer Schätzfunktion (kurz: eines Schätzers) bemessen werden kann. Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu,… …   Deutsch Wikipedia

  • Unverzerrtheit — Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit, engl. unbiasedness) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem ein Aspekt der Qualität einer Schätzfunktion (kurz: eines Schätzers) bemessen werden kann. Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu,… …   Deutsch Wikipedia

  • Verzerrung (Statistik) — Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit, engl. unbiasedness) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem ein Aspekt der Qualität einer Schätzfunktion (kurz: eines Schätzers) bemessen werden kann. Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu,… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”