Wirkungsintegral

Physikalische Größe
Name	Wirkung
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Js = kg·m2·s−1 M·L2·T−1

Die Wirkung ist eine physikalische Größe von der Dimension Energie mal Zeit oder Ort mal Impuls, wie ein Drehimpuls. Sie bezeichnet nicht, wie im allgemeinen Sprachgebrauch, die Auswirkung einer Ursache.

In der Quantenmechanik nimmt die Wirkung, beispielsweise der Drehimpuls, oft nicht beliebige Werte an, sondern nur ganzzahlige oder halbzahlige Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums. Weiterhin ergeben sich die Bewegungsgleichungen physikalischer Systeme aus dem sogenannten Prinzip der kleinsten Wirkung.

Bewegungsgleichungen

Die Gleichungen, mit denen die theoretische Physik Teilchen und ihre Wechselwirkungen beschreibt, folgen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung. In der Mechanik, beispielsweise, ist die Wirkung eine Bewertung jeder denkbaren Bahn. Die physikalisch tatsächlich durchlaufenen Bahnen sind dadurch ausgezeichnet, dass sie die niedrigste Bewertung haben.

In Newtons Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über die Differenz der kinetischen und der potentiellen Energie. Jeder Bahn $\Gamma:t\mapsto x(t)\,$, die im Laufe der Zeit t von einem Anfangspunkt $\underline{x}=x(t_1)$ zu einem Endpunkt $\overline{x}=x(t_2)$ durchlaufen wird, wird eine Wirkung $\,W$ zugeordnet:

$W[\Gamma] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm d t\,L\left(t,x(t),\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)\,.$

Dabei ist $\,L$ die Lagrangefunktion beispielsweise eines Teilchens der Masse m, das sich im Potential $\,V(t,x)$ bewegt,

$L(t,x,v)= \frac{1}{2}\,m\,v^2 - V(t,x)\,,$

die Differenz von kinetischer und potentieller Energie. Die Wirkung hat also die Dimension Energie mal Zeit. Unter allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch $\underline{x}$ und schließlich durch $\overline{x}$ laufen, haben die physikalischen Bahnen die kleinste (genauer eine stationäre) Wirkung und erfüllen daher die Euler-Lagrange-Gleichung

$m \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2} + \partial_x V(t,x)=0\,,$

die der Bewegungsgleichung des Teilchens entspricht.

So wie die Gleichungen der Newtonschen Mechanik lassen sich auch die Gleichungen der relativistischen Mechanik, die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik, die Einsteingleichungen der Allgemeine Relativitätstheorie und die Gleichungen des Standardmodells der elementaren Wechselwirkungen aus der Bedingung herleiten, dass eine Wirkung einen stationären Wert hat.

Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel

Bevor man mit der Quantenmechanik das Verhalten von Atomen zutreffend beschreiben konnte, haben Bohr und Sommerfeld die Spektren einfacher Atome durch das Bohrsche Atommodell erklärt („ältere Quantenmechanik“). Spektrallinien treten dort als Energiedifferenzen zweier „diskreter“ Elektronenbahnen auf. Die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel fordert von der Bahn des Elektrons um den Atomkern, dass nicht nur die Bewegungsgleichung, sondern für jeden Umlauf zusätzlich

$\oint p\,\mathrm{d}x = nh \qquad (n = 1, 2, \dots)$

gelten muss. Dabei ist p der Impuls und x der Ort, der durchlaufen wird. Dieses Linienintegral hat wie ein Drehimpuls die Dimension Ort mal Impuls und ist eine Wirkung, h ist das Plancksche Wirkungsquantum. Die Wirkung jeder stationären Elektronenbahn im Atom ist also gequantelt, sie tritt nur als ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums auf.

Unschärferelation

In der Quantenmechanik lassen sich oft die Ergebnisse von Messungen nicht sicher angeben, sondern nur die Wahrscheinlichkeit der Meßwerte. Die Schwankung der Ergebnisse um ihren Mittelwert nennt man Unschärfe. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Ortsunschärfe mal der Impulsunschärfe nicht kleiner als die Hälfte des Planckschen Wirkungsquantums sein kann.

$\Delta x\,\Delta p \ge \frac{1}{2}\hbar\,$