Euler-Lagrange-Gleichungen

Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrangefunktion, beschrieben wird. Dadurch wird automatisch eine Invarianz gegen Koordinatentransformationen in den Formalismus „eingebaut“. Die Bewegungsgleichungen folgen als sogenannte Lagrangegleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newton’schen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die Wahl geeigneter Koordinaten q_i (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Lagrangesche Methode erster Art

Wir betrachten N Punktteilchen im $\ \mathbb{R}^3$ mit den Ortsvektoren $\ \mathbf{r}_i$, $i\in \{1,...,N\}$, deren Koordinaten durch s voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen F_k der Form $F_k (\mathbf{r}_1, \ldots ,\mathbf{r}_N,t)=0$ mit $k \in \{1, \ldots ,s\}$ eingeschränkt sind (wobei eine explizite Zeitabhängigkeit zugelassen wurde). Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine f = 3N − s-dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt (f ist die Anzahl der Freiheitsgrade).

Das Pendel

Die Zwangskräfte $\mathbf Z$ stehen senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit und können daher durch eine Linearkombination der Gradienten $\nabla F_k$ dargestellt werden:

$\mathbf Z = \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^s \lambda_k \nabla_i F_k$

Wenn man annimmt, dass sich die äußeren Kräfte aus einem Potential ableiten lassen, kann man die Bewegungsgleichung folgendermaßen schreiben:

$m_i \ddot{\mathbf r}_i = - \nabla_i V + \sum_{k=1}^s \lambda_k \nabla_i F_k,\qquad i=1, \ldots ,N$

Die m_i sind die Massen der N Punktteilchen, V ist die potentielle Energie. Dies, zusammen mit den Zwangsbedingungen $F_i(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N, t)=0$, sind 3N+s unabhängige Gleichungen für die 3N Koordinaten der $\mathbf r_i$ sowie für die s Lagrangemultiplikatoren λ_k. Somit ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig.

Die Lagrangegleichungen erster Art sind äquivalent zu den Gleichungen, die sich aus dem D’Alembertsches Prinzip ergeben.

Bemerkung: Hier wurden nur holonome Zwangsbedingungen behandelt. Der Formalismus lässt sich aber auch auf Zwangsbedingungen der Form $\sum_k a_k \delta q_k =0\,$ anwenden, die z. B. bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen zwischen den Geschwindigkeiten der Teilchen folgen ^[1]. Diese Zwangsbedingungsgleichungen lassen sich im Gegensatz zu holonomen Zwangsbedingungen nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellen, das heißt zwischen den Koeffizientenfunktionen gilt nicht $\frac{\partial a_i}{\partial q_k}=\frac{\partial a_k} {\partial q_i}$.

Ähnlich wie oben können die Zwangsbedingungen in den Bewegungsgleichungen über Lagrangemultiplikatoren berücksichtigt werden (siehe unten).

Beispiel – Fallmaschine nach Atwood

Bei der Fallmaschine nach Atwood betracht man zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l- verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

$\, F:=y_1 + y_2 + l - 2h = 0$

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

$F:=y_1 + y_2 + l - 2h - \pi\ r = 0$

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

$V := m_1 \mathbf g y_1 + m_2 \mathbf g y_2$

Für die Gradienten erhält man

$\frac{\partial F}{\partial y_1 } = 1,\qquad \frac{\partial F}{\partial y_2 } = 1$

$\frac{\partial V}{\partial y_1 } = m_1\mathbf g,\qquad \frac{\partial V}{\partial y_2 } = m_2\mathbf g$

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

$\begin{matrix} m_1 \ddot y_1 &=& m_1\mathbf g + \lambda\\ m_2 \ddot y_2 &=& m_2 \mathbf g + \lambda\\ y_1 + y_2 + l - 2h &=& 0 \end{matrix}$

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

$\begin{matrix}y_1(t) &=& \frac {1}{2}{m_1 - m_2 \over {m_1 + m_2}}\mathbf g t^2 + \dot y_{1,0}t + y_{1,0}\\ \lambda &=& -2 \mathbf g \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\end{matrix}$

Lagrangesche Methode zweiter Art

Herleitung der Lagrange-Gleichungen

Die Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik für konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen ist $\,L = T - V$, wobei die kinetische Energie T und die potentielle Energie V mit unterschiedlichem Vorzeichen eingehen.

Die (Euler-)Lagrange-Gleichungen erhält man durch Variation des mit der Lagrangefunktion gebildeten Wirkungsintegrals im Hamiltonschen Prinzip. Dazu variiert man die generalisierten Koordinaten mit

$\, q \rightarrow q + \delta q$

$\, \dot q \rightarrow \dot q + \delta \dot q$

Das Hamiltonsche Prinzip wird dann zu

$\delta W = \delta \int dt L(q,\dot q, t) = \int dt (L (q + \delta q, \dot q + \delta \dot q, t) - L(q,\dot q, t))\stackrel{!}{=}0\,.$.

Eine Näherung in erster Ordnung lautet für eine gewöhnliche Funktion f(x,y)

$f(x + dx, y + dy) \approx f + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

also

$df = f(x + dx , y + dy) - f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$.

In erster Ordnung ergibt sich die Variation des Integrals also zu

$\int dt \left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q \right) = \int dt \left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} \delta q \right)$

Nun führt man eine partielle Integration in dem Term aus, der die Ableitung nach der Zeit enthält.

$\int_{t_1}^{t_2} dt \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} \delta q \right) = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q \, dt$

Hierbei wird benutzt, dass

$\,\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} = 0$

Damit resultiert schließlich

$\int dt \left(-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} + \frac{\partial L}{\partial q} \right)\delta q\stackrel{!}{=} 0\,.$

Da nun δq als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen (Ursprünglich Euler-Gleichungen aus der Variationsrechnung, hier angewandt auf die Lagrangefunktion), häufig nur kurz als Lagrange-Gleichungen bezeichnet:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0\,.$

Für jede generalisierte Koordinate q_i (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit $\dot{q}_i$) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Beispiel

Ein-Massen-Schwinger als harmonischer Oszillator

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt

$T=\frac{1}{2} m \dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2} c x^2$

Mit x als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung. Die Lagrangefunktion ist

$L= T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}cx^2$

und damit

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right) + c x = 0 \Leftrightarrow \ddot{x} = -\frac{c}{m} x$

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

$\,x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$,

wobei $\omega =\sqrt{c/m}$ die Kreisfrequenz ist und A,B reelle Konstanten sind.

Zyklische Variable

Wenn die Lagrangefunktion L nicht von einer Koordinate q abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit $\dot{q}\,,$ dann nennt man q zyklisch oder zyklische Koordinate oder zyklische Variable. Der zur zyklischen Variablen q konjugierte Impuls

$p= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

ist eine Erhaltungsgröße: ihr Wert ändert sich nicht während der Bewegung.

Denn weil die Lagrangefunktion nicht von q abhängt, gilt

$\frac{\partial{L}}{\partial q} = 0\,.$

Dann besagt die Euler-Lagrangegleichung

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0\,,$

dass die Zeitableitung des zugehörigen konjugierten Impulses verschwindet.

Allgemeiner gehört nach dem Noether-Theorem zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße und umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung. Bei einer zyklischen Variablen ist die Wirkung invariant unter der Verschiebung von q um eine beliebige Konstante, $q\rightarrow q+c\,.$

Erweiterung auf nicht-konservative Systeme

Für nicht-konservative Systeme (Systeme, bei denen nicht alle Kräfte Potentialkräfte sind) lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{L}\over \partial q_i} = Q_i^*$

bzw.

${d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i$

T: kinetische Energie

$\,Q_i$: generalisierte Kräfte als Summe der nicht-konservativen Kräfte und der Potentialkräfte

$Q_i^*$: generalisierte Kräfte ausschließlich nicht-konservativer Natur

Die generalisierten Kräfte bestimmt man aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten Kräfte

$\delta W = \sum_{i} Q_i\;\delta q_i$

durch Vergleich der Koeffizienten von δq_i.

Beispiel

Schema eines Aufzuges

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Moment M angetrieben. Die Masse der Last beträgt m, das Massenträgheitsmoment der Trommel ist J. Der Radius der Trommel ist r.

Zwischen den Koordinaten x und φ besteht folgende Beziehung:

$x = r \varphi$

$\Rightarrow \;\dot{x} = r \dot{\varphi}$

$\Rightarrow \;\delta x = r \delta \varphi$

Die kinetische Energie ist:

$T = \frac{1}{2} \left( m \dot{x}^2 + J \dot{\varphi}^2 \right) = \frac{1}{2} \left( m r^2 + J \right) \dot{\varphi}^2$

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist

$\delta W = -mg\,\delta x + M\,\delta \varphi = (-mgr + M)\,\delta \varphi$

$\Rightarrow \;Q = -mgr + M$

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung

$\left( m r^2 + J \right) \ddot{\varphi} = -mgr + M$

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

$\ddot {\varphi}=\frac{-mgr + M}{ m r^2 + J }$

Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen

Zwischen den generalisierten Koordinaten mögen noch n Nebenbedingungen folgender Form existieren:

$\sum_i a_{ki}(q_1, q_2 \ldots q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 \ldots \dot{q}_n, t)\;\delta q_i = 0$

(Nur bei holonomen Systemen lassen sich mit Hilfe der Nebenbedingungen überzählige Koordinaten eliminieren.)

Für Systeme mit Nebenbedingungen lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i + \sum_k \lambda_{k} a_{ki}$

λ_k: beim Integrationsprozess zu bestimmende Lagrangesche Multiplikatoren

Siehe auch: Hamiltonsche Mechanik

Erweiterung auf Felder

In der Feldtheorie ergibt sich die Bewegungsgleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder zu

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \sum_{j=1}^3 \frac{d}{dx_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j} )}- \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi_i )} \right)\equiv 0$

wobei Φ = Φ(x,y,z,t) das betrachtete Feld und $\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, \frac{\partial \phi}{\partial t}, x,y,z,t \right)$ die Lagrange-Dichte sind.

Man kann dies in Kurzform auch schreiben als

$\frac{\delta \mathcal L}{\delta\phi}\equiv 0\,,$

mit der so definierten Variationsableitung   $\frac{\delta\mathcal L}{\delta \phi}:=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi_i )} \right)$.

Der Lagrangeformalismus ist auch der Ausgangspunkt vieler Formulierungen der Quantenfeldtheorie.

Zusammenhang mit Pfadintegralen in der Quantenmechanik

Richard Feynman als erster hat diese Herangehensweise auch konsequent für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange-Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). In Feynmans Pfadintegral-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, das ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt proportional $e^{\frac{i W} {\hbar}}$ mit dem Wirkungsintegral W. Pfade in der Umgebung des klassischen Weges, für den die Variation von W verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren. Mehr Details sind im unten angegebenen Lehrbuch online nachzulesen.

Frei fallende Teilchen in der allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie durchlaufen frei fallende Teilchen Weltlinien längster Zeit: zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen A und B vergeht auf einer mitgeführten Uhr mehr Zeit, als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei s ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu

$\tau_{AB}=\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}L\bigl(s,x(s),\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}\bigr)\,\mathrm d s\ ,\ x(\underline{s})=A\,,\ x(\overline{s})=B\,,$

mit der Lagrangefunktion

$L(s,x,\dot{x})= \sqrt{g_{mn}(x)\, \dot{x}^m \,\dot{x}^n}\,.$

Dabei sind g_mn(x) die Komponentenfunktionen der Metrik. Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist und den Wert c = 1 hat, und verwenden die Einsteinsche Summenkonvention.

Der zu x^k konjugierte Impuls ist

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^k}=\frac{g_{kl}\,\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

$0=\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} \frac{g_{kl}\,\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m\,\dot{x}^n}} - \frac{1}{2} \frac{\partial_k g_{rs}\,\dot{x}^r\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

$\qquad\qquad =g_{kl}\,\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} \frac{\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m\,\dot{x}^n}} + \frac{\dot{x}^r\,\partial_r g_{ks}\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}} - \frac{1}{2} \frac{\partial_k g_{rs}\,\dot{x}^r\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}\,.$

Verwenden wir hier als Abkürzung das Christoffel-Symbol

$\Gamma_{rs}{}^l = \frac{1}{2}g^{lm}\bigl(\partial_r g_{sm}+\partial_s g_{rm}-\partial_m g_{rs}\bigr)\,,$

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: die Richtung der Tangente an die Weltlinie

$u^l = \frac{\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie

$0=g_{kl}\bigl(\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} u^l + \dot{x}^r\, \Gamma_{rs}{}^l\,u^s\bigr)\,.$

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, dass der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist $\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}$ konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung

$0=\frac{\mathrm d^2 x^l }{\mathrm ds^2} + \Gamma_{rs}{}^l(x)\, \frac{\mathrm d x^r}{\mathrm d s}\,\frac{\mathrm d x^s}{\mathrm d s}\,.$

Dies ist die allgemein-relativistische Form der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Teilchens. Die Gravitation ist in den Γ_rs^l voll berücksichtigt.

Literatur

Lehrbücher der klassischen Mechanik wie

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3527405895. 
• Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. 4. Auflage. Dover Pubn Inc, 1986, ISBN 0486650677. 
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219. 

zu Pfadintegralen

• Hagen Kleinert: Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik. Spektrum Akad. Vlg., Mannheim 1993, ISBN 3860256130
• Hagen Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets. 4. Auflage, World Scientific, Singapore 2006, ISBN 978-9812700087 ([1] auch online lesbar hier)

Einzelnachweise

1. ↑ Die realen anholonomen Zwangsbedingungen wären $\sum_k a_k d q_k + a_t dt =0\,.$ Das Zeitdifferential dt verschwindet per definitionem bei den zugehörigen sog. virtuellen Verschiebungen δq_k

Weblinks

• Whittaker Analytische Dynamik der Punkte und starren Körper, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 1924
• Artikel "Von d´Alembert zu Lagrange II" auf www.matheplanet.com
• Anwendungen des Lagrange-Formalismus an Beispielen der Oberstufenphysik