Wohlgeordnete Menge

Eine Wohlordnung einer Menge S ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von S ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung hat. Die Menge S zusammen mit der Wohlordnung heißt eine wohlgeordnete Menge. Beide Begriffe stammen aus der Mengenlehre von Cantor.

Zum Beispiel ist die normale Anordnung der natürlichen Zahlen eine Wohlordnung, aber weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung.

Die Wohlordnung einer Menge S bedeutet, dass es keine unendlich lange absteigende Kette gibt, d.h. keine unendliche Folge (a_i) in S, so dass für alle i gilt a_{i + 1} < a_i. Unter Verwendung des Auswahlaxioms kann man zeigen, dass diese Eigenschaft äquivalent zur Wohlordnungseigenschaft ist.

In einer wohlgeordneten Menge gibt es stets ein Element ohne Vorgänger, nämlich das kleinste Element von S. Der Nachfolger eines Elements ist immer eindeutig bestimmt. Es kann ein größtes Element geben, das keinen Nachfolger hat. Mehrere Elemente ohne Nachfolger sind nicht möglich.

Dagegen kann es mehrere (sogar unendlich viele) Elemente ohne Vorgänger geben.

Hierfür ein Beispiel: Die positiven natürlichen Zahlen sollen so geordnet sein, dass jede gerade Zahl „größer“ ist als jede ungerade Zahl. Untereinander sollen die geraden und die ungeraden Zahlen wie üblich geordnet sein, also in der folgenden Art:

$1 &amp;lt; 3 &amp;lt; 5 &amp;lt; \cdots &amp;lt; 2 &amp;lt; 4 &amp;lt; 6 &amp;lt; \cdots$

Offenbar ist dies eine wohlgeordnete Menge: Enthält eine Teilmenge irgendwelche ungeraden Zahlen, so ist die kleinste von ihnen auch „kleinste“ Zahl der Teilmenge (alle geraden Zahlen sind „größer“); enthält sie nur gerade Zahlen, so ist die kleinste aus diesen auch die „kleinste“ im Sinne der Wohlordnung, denn ungerade Zahlen, die „kleiner“ wären, sind ja nicht vorhanden. Die Ordinalzahl dieser Wohlordnung wird üblicherweise mit ω + ω bezeichnet. Es gibt hier kein größtes Element, aber zwei Elemente ohne Vorgänger: die Eins und die Zwei.

Wenn eine Menge wohlgeordnet ist, dann kann die Technik der transfiniten Induktion genutzt werden, um zu zeigen, dass eine gegebene Aussage für alle Elemente dieser Menge zutrifft. Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall der transfiniten Induktion.

Das Wohlordnungsprinzip, welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist, besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.

Siehe auch

Ordinalzahl, fundierte Menge