Young-Diagramm

Ein Young-Tableau oder Young-Diagramm ist ein grafisches Werkzeug der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe S_n. Jedes Young-Tableau wird dabei durch eine bestimmte Zahl von Zellen (meist symbolisiert durch Quadrate) bestimmt, die von oben nach unten und linksbündig so angeordnet sind, dass deren Anzahl in jeder neuen Zeile nicht zunimmt.

Beispiele für gültige Young-Tableaux:

a) [ ][ ][ ][ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ][ ][ ][ ] 
   [ ][ ]                 [ ]
   [ ][ ]                 [ ]
   [ ]                    [ ]

Beispiele für nicht gültige Young-Tableaux:

   [ ][ ][ ][ ]    [ ]   
   [ ][ ]          [ ][ ]       
   [ ][ ][ ]
   [ ]

Die Partition eines Young-Tableaux ist die Aufzählung der Zahl der Zellen jeder Zeile und dient der kompakten Beschreibung seiner Struktur. In den gezeigten Beispielen ergeben sich folgenden Partitionen: a) (4,2,2,1) b) (1) c) (1,1,1,1) und d) (4). Die Ordnung n des Tableaux bezeichnet die Zahl aller Zellen.

Eigenschaften

Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den irreduziblen Darstellungen der S_n und den Young-Tableaux der Ordnung n seien hier skizziert.

Young-Schema und die Projektoren der irreduziblen Darstellungen

Ein Young-Schema ist ein Young-Tableau, dessen n Zellen mit den Zahlen von 1 bis n zunächst willkürlich besetzt sind. Beispiele für Young-Schemata:

a) [3][7][6][5] b) [1] c) [1] d) [3][4][2][1] 
   [9][2]                 [2]
   [1][8]                 [3]
   [4]                    [4]

Nun werden Operatoren aus diesen Schema gebildet. Dabei bilden die Zeilen im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators P. Pro Zeile werden aus allen Kombinationen der Zellenindizes Permutationen gebildet und summiert. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert. Ganz analog bilden die Spalten im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators Q. Pro Spalte werden aus allen Kombinationen der Spaltenindizes Permutationen gebildet und summiert. Bei der Summation wird aber ein negatives Vorzeichen verwendet, wenn die Permutation ungerade ist. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert.

Beispiel:

[3][1][6]
[5][4]
[2]

Hier gilt (in der Zyklennotation)

P = P₁ P₂ P₃ = (1 + (3,1) + (3,6) + (1,6) + (3,1,6) + (1,3,6)) (1 + (5,4)) 1

und

Q = Q₁ Q₂ Q₃ = (1 - (3,5) - (3,2) - (5,2) + (3,5,2) + (3,2,5)) (1 - (1,4)) 1

Standardschema

Ein Standardschema ist ein Young-Schema, bei dem die Nummerierung der Zellen derart durchgeführt wird, dass in jeder Spalte von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts die Zahlen größer werden.

Beispiele für Standardschema:

[1][3][6]  [1][3][5]  [1][2]  [1]
[2][4]     [2][6]     [3]     [2]
[5]        [4]                [3]

Wichtige Sätze

Für die Standardschema lässt sich folgendes zeigen

• Der Operator R = P Q ist ein Projektor, das heißt es gilt R R = k R, wobei k eine Konstante ist, die gleichzeitig die Normierung für R vorgibt (R/k ist normierter Projektor). Im folgenden sollen immer die normierten Projektoren gemeint sein.
• Die Projektoren zu den Schemata unterschiedlicher Tableaux sind orthogonal: R_i R_j = 0.
• Die Projektoren zu allen Schemata gleicher Tableaux sind nicht linear unabhängig jedoch solche zu allen möglichen Standardschemata eines gegebenen Tableau. Aus diesen lässt sich dann ein System orthogonaler Projektoren R_ik R_im = 0 konstruieren.
• Das System aller Projektoren R_ik zu allen i Tableaux mit allen möglichen k Standardschemata ist vollständig, das heißt, es gilt: Die Summe über alle R_ik ist 1.
• Die Zahl der orthogonalen Projektoren R_ik, die sich so aus Tableaux der Ordnung n konstruieren lassen, und die Zahl der irreduziblen Darstellungen der S_n ist gleich.

Damit sind die R_ik die Projektoren der irreduziblen Darstellungen der S_n.

Die Zahl aller Young-Tableaux der Ordnung n

Die Zahl aller Standardschemata zu einem gegebenen Tableau

Die Zerlegung des äußeren Produkts der S_n

Das äußere Produkt der S_n verknüpft Permutationen der S_i, die auf die Indizes 1 bis i wirken, mit Permutationen der S_j, die auf Indizes i+1 bis i+j wirken und zusammen Permutationen der S_i+j beschreiben. Dabei stellt sich die Frage, in welche irreduziblen Darstellungen der S_i+j das äußere Produkt einer irreduziblen Darstellung von S_i und S_j zerfällt. Im folgenden sei das äußere Produkt symbolisiert mit '(x)'.

Aufgrund der Konstruktionsvorschrift der Young-Tableaux bemerkt man zunächst, dass Tableaux der Form (1,1,...,1) rein symmetrischen Projektoren entsprechen. Damit hat man zumindest für das äußere Produkt zwischen einer beliebigen Darstellung und einer rein symmetrischen Darstellung die Lösung gefunden: es sind alle Standardschemata, die das Standardschema der einen Darstellung enthalten und bei denen die Zellen der symmetrischen Darstellung nicht in ein und derselben Spalte vorkommen.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

[ ][ ] (x) [*][*] = [ ][ ][*][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ]
[ ]                 [ ]            [ ][*]      [ ]         [ ][*]
                                               [*]         [*] 

Eine Kombination wie

[ ][ ]
[ ]
[*]         
[*] 

kommt in der Entwicklung nicht vor, weil sie die Zellen [*] antisymmetrisch verknüpft.

Zur Bildung des äußeren Produkts zwischen beliebigen Tableaux zerlegt man zunächst eines der beiden Tableaux in eine Summe von Produkten von rein symmetrischen Tableaux nach folgender Vorschrift: Ein Tableau mit der Partition (i,j,...n,m) wird formuliert als (i,j,...n) (x) (m). Alle dabei zu viel entstehenden Tableaux werden abgezogen. Auf die so entstandene Summe wird die Prozedur rekursiv angewandt. Diese Rekursion kommt immer zu einem Ende, weil mit jedem Schritt Tableaux entstehen, die in der letzten Zeile mindestens eine Zelle weniger haben.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

[ ][ ] = [ ][ ] (x) [*][*] - [ ][ ][*][*] - [ ][ ][*]
[ ][ ]                                      [*]
       = [ ][ ] (x) [*][*] - [ ][ ][*][*] - ( [ ][ ][ ] (x) [*] - [ ][ ][ ][*] )

Nach dieser Zerlegung kann man unter Ausnutzung der Assoziativität des äußeren Produktes die eigentliche Multiplikation durchführen. Eine Anwendung des äußeren Produkts findet man bei der Zerlegung der Tensordarstellung eines Vielteilchensystems.

Bedeutung

Der Einsatz von Young-Tableaux ist vielfältig. Sie dienen unter anderem

• zur Ermittlung der Dimensionalitäten der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
• zur Konstruktion von Projektoren auf die Teilräume der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
• als Hilfe beim Beweis von Sätzen im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe
• zur Dekomposition des äußeren Produkts in seine irreduziblen Bestandteile

Darüber hinaus wird in der Elementarteilchenphysik mit der Technik der Young-Tableaux eine Dekomposition der Tensordarstellung von Mehrteilchensystemen ermöglicht. Unter anderem auf dieser Grundlage konnte über die experimentelle Bestimmung von Multiplets die Existenz der Quarks postuliert werden.