Young-Tableau

Ein Young-Tableau oder Young-Diagramm (nach Alfred Young) ist ein grafisches Werkzeug der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe S_n. Jedes Young-Tableau wird dabei durch eine bestimmte Zahl von Zellen (meist symbolisiert durch Quadrate) bestimmt, die von oben nach unten und linksbündig so angeordnet sind, dass deren Anzahl in jeder neuen Zeile nicht zunimmt.

Beispiele für gültige Young-Tableaux:

a) [ ][ ][ ][ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ][ ][ ][ ] 
   [ ][ ]                 [ ]
   [ ][ ]                 [ ]
   [ ]                    [ ]

Beispiele für nicht gültige Young-Tableaux:

   [ ][ ][ ][ ]    [ ]   
   [ ][ ]          [ ][ ]       
   [ ][ ][ ]
   [ ]

Die Partition eines Young-Tableau ist die Aufzählung der Zahl der Zellen jeder Zeile und dient der kompakten Beschreibung seiner Struktur. In den gezeigten Beispielen ergeben sich folgenden Partitionen: a) (4,2,2,1) b) (1) c) (1,1,1,1) und d) (4). Die Ordnung n des Tableaux bezeichnet die Zahl aller Zellen.

Eigenschaften

Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den irreduziblen Darstellungen der S_n und den Young-Tableaux der Ordnung n seien hier skizziert.

Young-Schema und die Projektoren der irreduziblen Darstellungen

Ein Young-Schema ist ein Young-Tableau, dessen n Zellen mit den Zahlen von 1 bis n zunächst willkürlich besetzt sind. Beispiele für Young-Schemata:

a) [3][7][6][5] b) [1] c) [1] d) [3][4][2][1] 
   [9][2]                 [2]
   [1][8]                 [3]
   [4]                    [4]

Nun werden Operatoren aus diesen Schemata gebildet. Dabei bilden die Zeilen im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators P. Pro Zeile werden aus allen Kombinationen der Zellenindizes Permutationen gebildet und summiert. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert. Ganz analog bilden die Spalten im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators Q. Pro Spalte werden aus allen Kombinationen der Spaltenindizes Permutationen gebildet und summiert. Bei der Summation wird aber ein negatives Vorzeichen verwendet, wenn die Permutation ungerade ist. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert.

Beispiel:

[3][1][6]
[5][4]
[2]

Hier gilt (in der Zyklennotation)

P = P₁ P₂ P₃ = (1 + (3,1) + (3,6) + (1,6) + (3,1,6) + (1,3,6)) (1 + (5,4)) 1

und

Q = Q₁ Q₂ Q₃ = (1 - (3,5) - (3,2) - (5,2) + (3,5,2) + (3,2,5)) (1 - (1,4)) 1

Standardschema

Ein Standardschema ist ein Young-Schema, bei dem die Nummerierung der Zellen derart durchgeführt wird, dass in jeder Spalte von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts die Zahlen größer werden.

Beispiele für Standardschemata:

[1][3][6]  [1][3][5]  [1][2]  [1]
[2][4]     [2][6]     [3]     [2]
[5]        [4]                [3]

Wichtige Sätze

Für die Schemata lässt sich Folgendes zeigen

• Der Operator R = P Q ist ein skalares Vielfaches eines Projektors. Das heißt: R R = k R, wobei k eine von 0 verschiedene Konstante ist, die gleichzeitig die Normierung für R vorgibt (R/k ist normierter Projektor). Im folgenden sollen immer die normierten Projektoren gemeint sein.
• Die Projektoren zu den Schemata unterschiedlicher Tableaux sind orthogonal: R_i R_j = 0.
• Die Projektoren zu allen Schemata gleicher Tableaux sind nicht linear unabhängig - jedoch solche zu allen möglichen Standardschemata eines gegebenen Tableau. Aus diesen lässt sich dann ein System orthogonaler Projektoren R_ik R_im = 0 konstruieren.
• Das System aller Projektoren R_ik zu allen i Tableaux mit allen möglichen k Standardschemata ist vollständig, das heißt: Die Summe aller (normierter) R_ik ist 1.
• Die Zahl der orthogonalen Projektoren R_ik (zu Standardschemata), die sich so aus Tableaux der Ordnung n konstruieren lassen, und die Summe der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der S_n ist gleich.

Damit sind die R_ik die Projektoren der irreduziblen Darstellungen der S_n.

Das äußere Tensorprodukt von Darstellungen symmetrischer Gruppen: Littlewood-Richardson-Koeffizienten

Das äußere Tensorprodukt

Zwei Darstellungen von zwei (im Allgemeinen verschiedenen) symmetrischen Gruppen S_n und S_m kann man zu einer Darstellung der symmetrischen Gruppe S_{n + m} "verknüpfen", dem sogenannten äußeren Tensorprodukt dieser beiden Darstellungen. Die genaue Definition dieser Darstellung verläuft folgendermaßen:

Für je zwei Permutationen $\sigma\in S_n$ und $\pi\in S_m$ definieren wir das "äußere Produkt" $\sigma\times\pi\in S_{n+m}$ als die Permutation der Menge $\left\{1,2,...,n+m\right\}$, welche jedes $i\in\left\{1,2,...,n\right\}$ auf $\sigma\left(i\right)$ abbildet und jedes $j\in\left\{n+1,n+2,...,n+m\right\}$ auf $\pi\left(j-n\right)+n$ abbildet. Anschaulich gesprochen ist also $\sigma\times\pi$ die Permutation, die auf den ersten n Zahlen wie σ wirkt und auf den letzten m Zahlen wie (eine um n verschobene Permutation) π wirkt.

Wir können die Gruppe $S_n\times S_m$ als Untergruppe von S_{n + m} ansehen (vermöge der Einbettung $S_n\times S_m\to S_{n+m},\ \left(\sigma,\pi\right)\mapsto \sigma\times \pi$).

Für jede Darstellung V von S_n und jede Darstellung W von S_m definieren wir nun das äußere Tensorprodukt von V und W als die Darstellung $\mathrm{Ind}^{S_{n+m}}_{S_n\times S_m}\left(V\otimes W\right)$ (hierbei ist $V\otimes W$ auf kanonische Weise eine Darstellung der Gruppe $S_n\times S_m$: die Gruppe S_n wirkt auf dem ersten Tensoranden, während die Gruppe S_m auf dem zweiten Tensoranden wirkt).

Das äußere Produkt der S_n verknüpft Permutationen der S_i, die auf die Indizes 1 bis i wirken, mit Permutationen der S_j, die auf Indizes i+1 bis i+j wirken und zusammen Permutationen der S_i+j beschreiben. Dabei stellt sich die Frage, in welche irreduziblen Darstellungen der S_i+j das äußere Produkt einer irreduziblen Darstellung von S_i und S_j zerfällt. Im folgenden wird das äußere Produkt mit dem Symbol '$\otimes$' dargestellt.

Beispiel

Als Beispiel wählen wir n = m = 2. Sei V die triviale Darstellung von S₂ (also der 1-dimensionale Vektorraum, auf dem jedes Element von S₂ als Identität wirkt) und sei W die alternierende Darstellung (auch Signum-Darstellung oder Signatur-Darstellung genannt) von S₂ (also der 1-dimensionale Vektorraum, auf dem jede gerade Permutation als Identität und jede ungerade Permutation als Punktspiegelung am Ursprung wirkt). Dann ist $V\otimes W$ eine 1-dimensionale Darstellung der Gruppe $S_2\times S_2$, und das äußere Produkt von V und W ist eine 6-dimensionale Darstellung $\mathrm{Ind}^{S_4}_{S_2\times S_2}\left(V\otimes W\right)$ von S₄.

Die Frage nach der Zerlegung

Nun stellt sich die Frage, wie das äußere Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen in irreduzible Darstellungen zerlegt werden kann (dieses Tensorprodukt ist selber nur selten irreduzibel, aber nach dem Satz von Maschke zerfällt es in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen). Da die irreduziblen Darstellungen von S_k (bis auf Isomorphie) eindeutig den Young-Tableaux der Ordnung k entsprechen, können wir also folgende Frage stellen:

Seien T und S zwei Young-Tableaux der Ordnungen n bzw. m. Seien V und W die irreduziblen Darstellungen von S_n bzw. S_m, die zu diesen Young-Tableaux gehören. Das äußere Produkt $\mathrm{Ind}^{S_{n+m}}_{S_n\times S_m}\left(V\otimes W\right)$ von V und W ist dann eine Darstellung von S_{n + m}, und somit eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen von S_{n + m}. Diese irreduziblen Darstellungen entsprechen wiederum Young-Tableaux der Ordnung n+m. Welche Young-Tableaux sind diese? Wir schreiben kurz

$T\otimes S = P_1 + P_2 + ... + P_l$

um zu sagen, dass $P_1,\ P_2,\ ...,\ P_l$ die Young-Tableaux zu den irreduziblen Darstellungen von S_{n + m} sind, in welche das äußere Produkt von V und W zerfällt. Dabei kann unter den Young-Tableaux $P_1,\ P_2,\ ...,\ P_l$ auch ein und das gleiche Tableau mehrfach vorkommen - nämlich dann, wenn in der Zerlegung des äußeren Produktes von V und W eine irreduzible Darstellung mehrfach vorkommt. Manchmal fasst man in diesem Fall diese gleichen Tableaux zusammen (statt P₂ + P₃ schreibt man also 2P₂, falls P₂ = P₃ ist). Dadurch wird aus der Summe P₁ + P₂ + ... + P_l eine Summe paarweise verschiedener Young-Tableaux mit Koeffizienten - diese Koeffizienten nennt man Littlewood-Richardson-Koeffizienten.

Die Frage ist nun, wie man anhand von T und S die Young-Tableaux $P_1,\ P_2,\ ...,\ P_l$ bestimmt. Es gibt unterschiedliche Antworten auf diese Frage; sie werden allgemein als Littlewood-Richardson-Regeln (nach Dudley Littlewood und A. R. Richardson) bezeichnet. Wir geben im Folgenden eine solche Regel, die rekursiv ist (es gibt auch explizite Regeln, die allerdings eine langwierige kombinatorische Formulierung haben).

Beispiel

Zuerst ein Beispiel: Seien T und S die Young-Tableaux

 T = [ ][ ]     und     S = [ ]
                            [ ] .

Die zu T bzw. S gehörenden irreduziblen Darstellungen V und W sind dann die triviale Darstellung von S₂ (als V) und die alternierende Darstellung von S₂ (als W). Wir sind also in dem Beispiel weiter oben, wo wir festgestellt haben, dass das äußere Produkt von V und W eine 6-dimensionale Darstellung von S₄ ist. Man kann feststellen (z. B. mit Charaktertheorie), dass diese Darstellung sich als direkte Summe $U_1\oplus U_2$ schreiben lässt, wobei U₁ die irreduzible Darstellung von S₄ zum Young-Tableau

[ ][ ][ ]
[ ]

ist, und U₂ die irreduzible Darstellung von S₄ zum Young-Tableau

[ ][ ]
[ ]
[ ]

ist. Wir können also schreiben:

T (X) S = [ ][ ] (X) [ ] = [ ][ ][ ] (X) [ ][ ]
                     [ ]   [ ]           [ ]
                                         [ ]   ,

wobei wir P (X) Q für $P\otimes Q$ schreiben.

Ein Berechnungsverfahren für T (X) S

Seien nun die Young-Tableaux T und S gegeben. Wir wollen die Summanden $P_1,\ P_2,\ ...,\ P_l$ in der Zerlegung $T\otimes S = P_1 + P_2 + ... + P_l$ bestimmen (im obigen Beispiel konnte man dies noch recht leicht per Hand erledigen, vor allem mit Charaktertheorie, aber für größere Tableaux wird dies schnell sehr mühsam).

Die sogenannte Pieri-Regel erledigt dies im Sonderfall, wenn das Tableau S nur aus einer Zeile besteht: In diesem Fall ist $T\otimes S$ die Summe aller Youngtableaus, die aus dem Youngtableau T durch Anfügen von insgesamt m neuer Zellen entstehen (wobei m die Ordnung von S ist), und zwar höchstens einer neuen Zelle pro Spalte.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

[ ][ ] (x) [*][*] = [ ][ ][*][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ]
[ ]                 [ ]            [ ][*]      [ ]         [ ][*]
                                               [*]         [*] 

Eine Kombination wie

[ ][ ]
[ ]
[*]         
[*] 

kommt in der Entwicklung nicht vor, weil in ihr die erste Spalte zwei hinzugefügte Zellen [*] enthält.

Zur Bildung des äußeren Produkts (X) zwischen beliebigen Tableaux zerlegt man zunächst eines der beiden Tableaux in eine alternierende Summe von äußeren Produkten von einzeiligen Tableaux nach folgender Vorschrift: Haben wir ein Tableau der Form (i,j,...,n,m) vor uns, dann berechnen wir das äußere Produkt (i,j,...,n) (X) (m). Wir bekommen eine Summe von Tableaux, darunter unser Ausgangstableau (i,j,...,n,m), aber auch einige weitere Tableaux. Diese weiteren Tableaux werden nun abgezogen:

(i,j,...,n,m) = (i,j,...,n) (X) (m) - (einige weitere Tableaux).

Auf die so entstandene Summe wird die Prozedur rekursiv angewandt. Diese Rekursion kommt immer zu einem Ende, weil mit jedem Schritt Tableaux entstehen, die in der letzten Zeile mindestens eine Zelle weniger haben.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

[ ][ ] = [ ][ ] (X) [*][*] - [ ][ ][*][*] - [ ][ ][*]
[ ][ ]                                      [*]
       = [ ][ ] (X) [*][*] - [ ][ ][*][*] - ( [ ][ ][ ] (X) [*] - [ ][ ][ ][*] )

Nach dieser Zerlegung kann man unter Ausnutzung der Assoziativität des äußeren Produktes und mithilfe der Pieri-Regel die eigentliche Multiplikation durchführen. Eine Anwendung des äußeren Produkts findet man bei der Zerlegung der Tensordarstellung eines Vielteilchensystems.

Warnung

Das äußere Tensorprodukt zweier Darstellungen V und W zweier symmetrischer Gruppen S_n und S_m ist nicht zu verwechseln mit dem inneren Tensorprodukt zweier Darstellungen V und W einer und der gleichen symmetrischen Gruppe S_k. Letzteres ist (wie gesagt) nur für zwei Darstellungen der gleichen symmetrischen Gruppe definiert, und auch dann unterscheidet es sich vom äußeren Tensorprodukt (es ist eine Darstellung von S_k, während das äußere Tensorprodukt eine Darstellung von S_2k ist). Die Zerlegung dieses inneren Tensorproduktes in irreduzible Darstellungen ist noch um einiges schwieriger als die des äußeren Tensorproduktes. Statt der Littlewood-Richardson-Koeffizienten kommen hier sogenannte Kronecker-Koeffizienten ins Spiel.

Bedeutung

Der Einsatz von Young-Tableaux ist vielfältig. Sie dienen unter anderem

• zur Ermittlung der Dimensionalitäten der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
• zur Konstruktion von Projektoren auf die Teilräume der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
• als Hilfe beim Beweis von Sätzen im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe
• zur Dekomposition des äußeren Produkts in seine irreduziblen Bestandteile

Darüber hinaus wird zum Beispiel in der Elementarteilchenphysik mit der Technik der Young-Tableaux eine Dekomposition der Tensordarstellung von Mehrteilchensystemen ermöglicht. Unter anderem wurden sie benutzt, um die Quark-Struktur von Hadronen aufzuklären. Quarks wurden anfangs nicht durch Hochenergiestreuexperimente direkt beobachtet, sondern mussten zunächst aus der Systematik der als Darstellungen der zugrundeliegenden Gruppe realisierten zusammengesetzten Teilchen erschlossen werden.

Literatur

• William Fulton Young- Tableaux. With applications to representation theory and geometry, London Mathematical Society Student Texts Nr.35, Cambridge University Press 1997

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Young Tableau. In: MathWorld. (englisch)