Zerschmettern

Zerschmettern ist in der Mathematik ein Konzept aus den Bereichen Gruppentheorie und Mengenlehre.

Definition

Sei $(X, \mathcal{F})$ ein Mengensystem und $A \subseteq X$. A wird $\mathcal{F}$-zerschmettert $:\Leftrightarrow \{ F \cap A | F \in \mathcal{F} \} = \mathcal{P}(A)$, d.h. genau dann wenn man jede beliebige Teilmenge von A durch Schnitt eines Elements von $\mathcal{F}$ mit A erzeugen kann.

Beispiel

Sei $X := \mathbb{R}^2$, $\mathcal{F} := \{ \text{alle abgeschlossenen Halbebenen im } \mathbb{R}^2 \}$. Ist jetzt A = drei Punkte im $\mathbb{R}^2$, die nicht auf einer Gerade liegen, so wird A von $\mathcal{F}$ zerschmettert, da man jede der Teilmengen der drei Punkte mittels einer abgeschlossener Halbebene separieren kann.

Liegen die Punkte dagegen alle auf einer Geraden, so kann der mittlere Punkt nicht von den anderen beiden separiert werden und somit wird A nicht von $\mathcal{F}$ zerschmettert. Weiterhin können keine 4 Punkte in der Ebene durch abgeschlossene Halbebenen zerschmettert werden.