Gruppentheorie

Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur der Gruppen.

Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit der Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen von Symmetrien gegeben ist. Zum Beispiel bilden die Rotationen eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene eine Gruppe mit n Elementen. Um dieses Konzept in voller Allgemeinheit zu fassen, hat sich eine sehr knappe und doch mächtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung (unter der die Menge abgeschlossen ist und durch die jedem geordneten Paar von Elementen als zwei verknüpften Operanden eindeutig ein Element als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verknüpfung assoziativ ist und es ein neutrales Element gibt sowie zu jedem Element ein Inverses. So bilden zum Beispiel die ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe.

Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen, später durch die Untersuchung geometrischer Symmetrien. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von Évariste Galois und Niels Henrik Abel in der Algebra sowie Felix Klein und Sophus Lie in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller einfachen endlichen Gruppen, also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen.

Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien, etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen, etc.). Vor allem in der Algebra ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: Ringe, Körper, Moduln und Vektorräume sind Gruppen mit zusätzlichen Strukturen und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte Darstellungstheorie die theoretischen Grundlagen und eröffnen wichtige Anwendungen.

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von Dingen (Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verknüpfung, in diesem Absatz als $\times$ dargestellt), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Diese Rechenvorschrift muss dabei bestimmten Regeln genügen, den sogenannten Gruppenaxiomen, die im Folgenden erklärt werden.

Von einer Gruppe spricht man, falls für eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung je zweier Elemente dieser Menge, hier geschrieben als $a \times b$, die folgenden Anforderungen erfüllt sind:

1. Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit)
2. Für die Verknüpfung ist die Klammerung unerheblich, das heißt es gilt $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ für alle a,b,c. (Assoziativgesetz)
3. Es gibt ein Element e in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt, also ein $\times$-neutrales Element: $a \times e = e \times a = a$ für alle a.
4. Zu jedem Element a gibt es bezüglich der Verknüpfung ein Umkehr-Element, also ein $\times$-inverses Element a ^* . Dieses hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: $a^* \times a = a \times a^* = e$.

Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verknüpfungen die Rede ist, etwa $\times$ und $\circ$, dann gibt es mehrere neutrale und inverse Elemente, jeweils passend zur Verknüpfung. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass nur eine bestimmte Verknüpfung gemeint ist, dann spricht man kurz von dem neutralen Element e und dem inversen Element a ^* zu a ohne die Verknüpfung nochmals explizit zu erwähnen.

• Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, wenn also stets $a \times b = b \times a$ gilt, dann liegt eine abelsche Gruppe vor, auch kommutative Gruppe genannt. (Kommutativgesetz)

Beispiele für abelsche Gruppen sind

• die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Addition + als Verknüpfung und der Null als neutralem Element,
• die rationalen Zahlen $\Q$ ohne Null mit der Multiplikation $\cdot$ als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt: „1/0“ ist nicht definiert.

Die sehr allgemeine Definition von Gruppen ermöglicht es, nicht nur Mengen von Zahlen mit entsprechenden Operationen als Gruppen aufzufassen, sondern auch andere mathematische Objekte mit geeigneten Verknüpfungen, die die obigen Anforderungen erfüllen. Ein solches Beispiel ist die Menge der Drehungen und Spiegelungen (Symmetrietransformationen), durch die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abgebildet wird, mit der Hintereinanderausführung der Transformationen als Verknüpfung (Diedergruppe).

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Definition

Eine Gruppe ist ein Paar (G, * ). Dabei ist G eine Menge und * eine zweistellige Verknüpfung bezüglich G. D.h., dadurch wird die Abbildung $*\colon G \times G \to G, (a,b) \mapsto a*b$ beschrieben. Zudem müssen die folgenden Axiome für die Verknüpfung erfüllt sein, damit (G, * ) als Gruppe bezeichnet werden kann:

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a * b) * c = a * (b * c).
• Es gibt ein neutrales Element $e\in G$, mit dem für alle Gruppenelemente $a\in G$ gilt: a * e = e * a = a.
• Zu jedem Gruppenelement $a\in G$ existiert ein inverses Element $a^{-1}\in G$ mit a * a ^{− 1} = a ^{− 1} * a = e.

Eine Gruppe (G, * ) heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung * symmetrisch ist, d. h., wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente a und b gilt a * b = b * a.

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente $a,b \in G \,$ gibt, für die $a*b \ne b*a$ ist, heißt die Gruppe $(G,*) \,$ nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Abschwächung

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein linksneutrales Element $e \in G$, so dass gilt:

• Für alle Gruppenelemente a gilt: e * a = a.
• Zu jedem $a \in G$ existiert ein linksinverses Element a ^{− 1} mit a ^{− 1} * a = e.

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition, denn es gilt:

• Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges $a\in G$ gilt:

$\begin{align} a*a^{-1} &= e*\left(a*a^{-1}\right)\\ &= \underbrace{\left(\left(a^{-1}\right)^{-1}*a^{-1}\right)}_e*\left(a*a^{-1}\right)\\ &= \left(a^{-1}\right)^{-1}*\left(\underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e*a^{-1}\right)\\ &= \left(a^{-1}\right)^{-1}*a^{-1}\\ &= e \end{align}$

• Jedes linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges $a\in G$ gilt:

$a*e = a*\underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e = \underbrace{\left(a*a^{-1}\right)}_e*a = e*a = a$.

Bemerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung * das Symbol $\cdot$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird durch 1 symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden.

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung * das Symbol + benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch 0 symbolisiert. Das zum Gruppenelement a inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch a ^{− 1}, sondern durch − a symbolisiert. Üblich ist die additive Schreibweise bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Ist die Verknüpfung klar, so schreibt man für die Gruppe häufig nur G.

Beispiele

Bekannte Beispiele für Gruppen sind:

• Kleinsche Vierergruppe (abelsch)
• symmetrische Gruppe (nicht-abelsch für n > 2)
• alternierende Gruppe (nicht-abelsch für n > 3)
• Diedergruppe (nicht-abelsch für n > 2)
• Quaternionengruppe (nicht-abelsch)
• Triviale Gruppe: Besteht nur aus dem neutralem Element

Eine ausführlichere Aufzählung finden Sie in der Liste kleiner Gruppen.

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

• Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt:

  Wenn e und f neutrale Elemente sind, dann muss e * f = f sein, da e neutral ist, und e * f = e, da f neutral ist. Somit folgt e = f.

• Es gilt die Kürzungsregel: Aus a * b = a * c oder b * a = c * a mit Gruppenelementen a,b,c folgt jeweils b = c:

  $a*b = a*c \; \Rightarrow \; \underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e*b = \underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e*c \; \Leftrightarrow \; e*b = e*c \; \Leftrightarrow \; b = c$

• Daraus ergibt sich, dass die Verknüpfungstabelle einer (endlichen) Gruppe ein Lateinisches Quadrat ist, bei dem in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.
• Die Gleichung a * x = b ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist x = a ^{− 1} * b. Ebenso hat x * a = b die eindeutige Lösung x = b * a ^{− 1}.
• Das zu einem Gruppenelement a inverse Element a ^{− 1} ist eindeutig bestimmt. Wenn a' und a'' beide invers zu a sind dann folgt:

  $a'=a'*\underbrace{\left(a*a''\right)}_e=\underbrace{\left(a'*a\right)}_e*a''=a''\Rightarrow a'=a''$

• Es gilt e ^{− 1} = e und $\left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
• Für alle Elemente gilt $\left(a*b\right)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$:

  $\left(a*b\right)*\left(b^{-1}*a^{-1}\right) = a*\underbrace{\left(b*b^{-1}\right)}_e*a^{-1} = a*a^{-1} = e$

  Somit ist b ^{− 1} * a ^{− 1} zu a * b invers.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) | G | der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Ordnung von Elementen

→ Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Ergibt ein Element a der Gruppe, endlich viele Male n mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element 1, d. h. gilt für ein geeignetes n: aⁿ = 1, so nennt man das kleinste derartige n > 0 die Ordnung des Elements a. Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt (Satz von Lagrange).

Untergruppen

→ Hauptartikel: Untergruppe

Ist H eine Teilmenge der Trägermenge G einer Gruppe (G, * ) und ist (H, * ) selbst eine Gruppe, so nennt man H eine Untergruppe von G.

Hierzu ein wichtiger Satz (Satz von Lagrange): Die Ordnung (Anzahl der Elemente) jeder Untergruppe H einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe G, da gilt | G | = [G:H] * | H | . Ist speziell | G | eine Primzahl, dann hat G nur die (trivialen) Untergruppen {e} (bestehend aus dem neutralen Element) und G selbst.

Nebenklassen

Definiert man auf der Gruppe G mit einer Untergruppe H die Relation ∼ durch:

$a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}*b \in H$,

erhält man eine Äquivalenzrelation auf G. Die sog. Äquivalenzklasse zu einem Element $a \in G$ (d. h. die Klasse aller Elemente b, die zu a in der Relation ∼ stehen), ist die Menge

$\{a*u \mid u \in H\}$.

Für diese Menge schreibt man a * H oder aH. Da diese Menge alle Elemente von G enthält, die dadurch entstehen, dass das Element a mit allen Elementen aus H verknüpft wird, heißt sie die Linksnebenklasse von H nach dem Element a.

Die Menge aller Linksnebenklassen von H bezeichnet man mit G / H.

Wenn man umgekehrt eine Relation a∼b durch

$a \sim b \Leftrightarrow a*b^{-1} \in H$,

definiert, dann ist

$\{u*a \mid u \in H\}$

die Menge der zu a äquivalenten Elemente in G.

Diese Menge entsteht also durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus H mit dem Element a. Sie wird mit H * a oder Ha bezeichnet und Rechtsnebenklasse von H nach dem Element a genannt.

Beispiel

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppe G. Dann ist die Menge $H=\left\{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\right\}$ aller ganzzahligen Vielfachen von 3 eine Untergruppe. Es ergeben sich 3 Rechtsnebenklassen:

H     H+1   H+2  H+3=H  H+4=H+1 ...

...   ...   ...
-6    -5    -4
-3    -2    -1
 0     1     2
 3     4     5
 6     7     8
...   ...   ...

Da H die Menge der durch 3 teilbaren Zahlen ist, sind die Nebenklassen H + r gerade die Restklassen modulo 3. Die Tabelle enthält alle ganzen Zahlen, wobei keine Zahl zweimal vorkommt, in einer gemeinsamen Spalte stehen jeweils die Zahlen, die beim Teilen durch drei den gleichen Rest r lassen.

Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

→ Hauptartikel: Normalteiler

Ist für jedes Element $a \in G$ die linke Nebenklasse von H gleich der rechten, d. h. aH = Ha, so nennt man H einen Normalteiler von G.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

Faktorgruppe

→ Hauptartikel: Faktorgruppe

Damit lässt sich das Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist N ein Normalteiler, dann kann man nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe.

Die Verknüpfung ist wie folgt gegeben

$g, h \in G , N \trianglelefteq G \quad (gN)*(hN) = (g*h)N.$

Diese Definition ist konsistent, da das Ergebnis von der Wahl der Elemente g und h aus den Nebenklassen unabhängig ist.

Die mit dieser Verknüpfung und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von G bezüglich N.

Zyklische Gruppen

→ Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Gibt es in G ein Element a, so dass man jedes andere Element als Potenz aⁿ (mit einer ganzen Zahl n, die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man G eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen

Eine nicht-triviale Gruppe heißt einfach, wenn sie keine Normalteiler außer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Beispielsweise sind alle Gruppen von Primzahlordnung einfach. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als „Grundbausteine“ von Gruppen. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Jede gehört entweder zu einer der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen oder ist eine der 26 Ausnahmegruppen, die auch als sporadische Gruppen bezeichnet werden.

Ausblick

Rubiks Zauberwürfel als Beispiel einer Gruppe

Die Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberwürfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen wird nur die Assoziativität verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid.

Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar.

Anwendungen

Chemie

Die Koordinaten der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die so genannten Punktgruppen. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch für die Symmetrie von Funktionen gilt, also auch für Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Beispielanwendungen

• Quantenchemie
  • Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z. B. hat ein Hamiltonoperator die gleiche Symmetrie wie sein System.
  • Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (Symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet.
  • Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: Woodward-Hoffmann-Regeln).

• Spektroskopie
  • Die Gruppentheorie ist auch für die Infrarotspektroskopie von Bedeutung, IR-, Raman-Eigenschaften, Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmoment können direkt aus der Charaktertafel eines Moleküls abgelesen werden.
  • In der NMR-Spektroskopie sind Protonen, die sich durch Spiegelung aufeinander abbilden lassen chemisch äquivalent und ergeben darum im Spektrum die gleiche chemische Verschiebung.

• Physikalische Eigenschaften
  • Ein permanentes elektrisches Dipolmoment können nur Moleküle der Punktgruppen C_nv und C₂ haben
  • Chiralität/optische Aktivität
    • Moleküle, die keine Drehspiegelachse S_n aufweisen, sind chiral und daher optisch aktiv, z. B. Brom-chlor-iod-methan
    • Moleküle, die eine Spiegelachse haben, sind nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten, z. B. Meso-Verbindungen. Chirale Katalysatoren in der enantioselektiven Synthese enthalten oft Liganden mit C₂-Symmetrie, damit sich definierte Komplexe bilden.

• Kristallographie
  • In der Kristallographie kommt die Gruppentheorie durch die Einordnung von Kristallstrukturen in die 230 möglichen Raumgruppen vor.

Physik

In der Quantenmechanik sind Symmetriegruppen als Gruppen von unitären oder antiunitären Operatoren realisiert. Die Eigenvektoren einer maximalen, abelschen Untergruppe dieser Operatoren zeichnet eine physikalisch wichtige Basis aus, die zu Zuständen mit wohldefinierter Energie oder Impuls oder Drehimpuls oder Ladung gehört. Beispielsweise bilden in der Festkörperphysik die Zustände in einem Kristall mit einer fest gewählten Energie einen Darstellungsraum der Symmetriegruppe des Kristalls.

Siehe auch

• Hierarchie mathematischer Strukturen
• Der Begriff kartesische Gruppe bezeichnet in der synthetischen Geometrie einen Ternärkörper mit bestimmten Zusatzeigenschaften.

Weblinks

• Gruppenzwang – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet
• http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Online-Werkzeug zur Erstellung von Gruppentafeln (englisch)

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0.
• Pavel S. Alexandroff: Einführung in die Gruppentheorie. Deutsch, Frankfurt 2007, ISBN 978-3-8171-1801-4.
• Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen - eine Einführung. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-60331-X.
• Thorsten Camps, et al.: Einführung in die kombinatorische und die geometrische Gruppentheorie. Heldermann, Lemgo 2008, ISBN 978-3-88538-119-8.
• Oleg Bogopolski: Introduction to group theory. European Math. Soc., Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-041-8.