Beugungsscheibe

Berechnetes Beugungsbild im Fernfeld hinter einer Kreisblende.

Beugungsscheibchen entstehen bei der Beugung eines Lichtstrahls an einer Blende. Ist die Blende kreisförmig, beobachtet man ein zentrales Maximum, umgeben von Ringen abnehmender Licht-Strahlungsintensität. Andere Bezeichnungen sind Beugungsring oder Airy-Scheibchen. Nichtkreisförmige Blenden erzeugen gleichfalls Beugungsstrukturen, die sich deutlich von einem Beugungsscheibchen unterscheiden können (Lichtkreuz, Spikes). Mathematisch wird die Beugung von Licht durch das Beugungsintegral beschrieben.

Zentrales Beugungsscheibchen

Das Bild eines Lichtpunkts, das von einer kreisförmigen Linse oder Öffnung (Lochkamera) endlicher Größe abgebildet wird, ist nicht etwa wieder ein Lichtpunkt, sondern ein Beugungsscheibchen, umgeben von konzentrischen Beugungsringen. Dieses Phänomen wird nicht durch Abbildungsfehler, sondern durch die Beugung des Lichts am Rand der Linse oder Blende hervorgerufen. Die Größe des Beugungsscheibchens ist umgekehrt proportional zum Linsendurchmesser. Nach dem englischen Astronomen George Biddell Airy wird der zentrale Beugungsfleck auch Airy-Scheibchen genannt.

Beugung an einer Kreisblende

Radiale Variation der Intensität hinter einer kreisförmigen Blende. Bei der Berechnung der Kurve kommt die Besselfunktion erster Ordnung J₁(r) zur Anwendung. Die Intensität ist logarithmisch aufgetragen, da dies am ehesten der menschlichen Wahrnehmung entspricht.

Die Licht-Intensität I(r) hinter einer Lochblende, die mit monochromatischem Licht bestrahlt wird, folgt der Besselfunktion erster Art J₁(r), wobei r vom Ursprung aus gemessen wird:

$I(r) = \left(\frac{J_1(r)}{r}\right)^2$

Man erkennt, dass die Intensität in regelmäßigen Abständen auf Null zurück geht und erhält nach außen schwächer werdende Ringe. Die Größe der zentralen Beugungsscheibe ergibt sich aus der ersten Nullstelle der Funktion J₁(r). In der Funktionsdarstellung rechts liegt sie bei 3,8317.... Da der Funktionswert um 2π erweitert wurde und sich auf den Radius, nicht den Durchmesser, bezieht, beträgt die Winkelgröße δ des zentralen Beugungsscheibchens:

$\sin(\delta) = 3{,}83/(2 \cdot \pi) \cdot 2 \frac {\lambda}{D} = 1{,}22 \frac {\lambda}{D}$

mit λ = Wellenlänge des Lichtes, D = Durchmesser der Blende.

Die Größe des Beugungsscheibchens, das sich aus dem kleinsten Blendendurchmesser eines optischen Instruments ergibt, bestimmt das Auflösungsvermögen. Dabei ist es egal, ob es sich um eine Lochblende im Strahlengang, oder um die Randbegrenzung einer Linse handelt. Zwei Punkte lassen sich nur dann sicher trennen, wenn in der Abbildung ihre Maxima mindestens um den Radius r des Beugungsscheibchens auseinander liegen.

Bildet eine Linse das Bild in der Brennebene f ab, hat das zentrale Beugungsscheibchen den Durchmesser d ( = 2 · r ):

$d = 2 \cdot 1{,}22 \ \lambda \ \frac {f} {D}$

mit λ = Wellenlänge des Lichtes, f = Brennweite der abbildenden Linse, D = Durchmesser der Linse.

Je größer der Durchmesser D bzw. je kleiner die Blendenzahl f / D ist, desto kleiner ist der Winkel α bzw. der Durchmesser d des Beugungsscheibchens. Das ist einer der Gründe dafür, dass hoch auflösende Teleskope große Spiegel benötigen.

Näherungsformel zum Abschätzen

In der Praxis rechnet man oft mit folgenden Näherungsformeln:

d = 1 µm * f / D                                 (Rayleigh-Kriterium ergibt d = 1,35 µm * f / D)

Beispiel: eine Blende von f / d = 11 ergibt ein Beugungsscheibchen von 11 µm Durchmesser.

α = 100 mm / D * Winkelsekunden     (Rayleigh-Kriterium ergibt α = 140 mm / D * Winkelsekunden)

Beispiel: eine Objektivöffnung von D = 100 mm Durchmesser erlaubt eine Winkelauflösung von 1".

Andere Blendenformen

Beugungsbild einer Rechteckblende (kleines Bild oben links), Intensität der Nebenmaxima überhöht.

Links Blende, rechts berechnete Beugungsscheibchen.

Weicht die Blende von der Kreisform ab, verändert sich die Form des Zentralmaximums und der höheren Beugungsordnungen. Das Bild links zeigt ein Beispiel für eine Rechteck-Blende. Ihre Orientierung ist oben links in der Bildecke angedeutet. Das Verhältnis von Höhe und Breite spiegelt sich auch im Zentralfleck wider, aber mit reziproken Verhältnissen. Die Nebenmaxima sind am stärksten in den Hauptrichtungen ausgeprägt.

Das Bild rechts zeigt Beugungsscheibchen (rechts) unterschiedlicher Blenden (links). Die ringförmige Helligkeitsmodulation, die man bei einer kreisförmigen Blende erwartet, ist überlagert von strahlenförmigen Sternen, den sogenannten Spikes. Besonders deutlich treten sie bei der Dreiecksblende hervor.

Beugungsstrukturen eines Fernrohrs

Sterne (hier: V838 Monocerotis), in hoher Vergrößerung

Beugungsbild einer mit zwei Linien abgedeckten Kreisblende

Die Auflösung astronomischer Fernrohre ist beugungsbegrenzt. Die Form der Teleskopöffnung spiegelt sich in den Beugungsscheibchen der punktförmigen Sterne wider, die auf der Fotoplatte aufgezeichnet werden.

Das Bild links zeigt als Beispiel eine Hochvergrößerungsaufnahme von Sternen, aufgenommen mit dem Hubble-Teleskop. Obwohl die Beugungsscheibchen gleich groß sind, erscheinen aufgrund von Überstrahlungen im Aufnahmematerial helle Sterne größer. Die ausgedehnten sternförmigen Spikes entstehen durch Beugung an den rechtwinklig angeordneten Fangspiegelstreben im Strahlengang. Die ausgedehnten Spikes des Zentralsterns V838 Monocerotis lassen sogar die Helligkeitsmodulationen der Beugung erkennen. Beugungen höherer Ordnung außerhalb der Hauptspikes sind zu lichtschwach und deshalb nicht zu erkennen. Das Bild rechts zeigt eine Simulation einer kreisförmigen Blende, durchkreuzt von zwei Aussparungen, siehe kleines Teilbild in der linken Ecke. Es erzeugt ein vergleichbares Beugungsbild.

Beispiele für beugungsbegrenzte Auflösung

Alle Betrachtungen erfolgen, wenn nichts anderes angegeben ist, bei einer Wellenlänge von λ = 555 nm.

1. Ein beugungsbegrenztes Foto-Objektiv mit einer Blende von f / D = 2,95 erzeugt ein Beugungsscheibchen von genau 4 µm Durchmesser. Dies ist nur auf extrem hochauflösenden Schwarz-Weiß-Negativfilmen noch erkennbar. Bei Blende f / D = 11 ist das Beugungsscheibchen einen Durchmesser von 15 µm, d.h. auf vielen Filmemulsionen schon erkennbar.
2. Wenn die Internationale Raumstation ISS mit einem Objektiv mit D = 140 mm Durchmesser ausgerüstet ist, lassen sich Details der Größe von einer Winkelsekunde auflösen. Bei einer Flughöhe von 350 km entspricht das einer Auflösung x von 1,7 m.
   Um die Details auch fotografieren zu können, müssen sie größer sein als das Auflösungsvermögen d des Sensors. Wenn d = 4,8 µm beträgt, ist eine Brennweite f von mindestens 1 m erforderlich.
3. Das Hubble-Weltraumteleskop umkreist die Erde in einer Höhe von h = 590 km. Sein Spiegel hat einen Durchmesser von D = 2,4 m. Auf die Erde gerichtet hätte es unter optimalen Bedingungen eine Auflösung von 14 cm.
4. Große Spiegel sind teuer. Spionagesatelliten kompensieren den Nachteil kleinerer Spiegel mit einer geringen Flughöhe. Bei einem Spiegeldurchmesser von 1 m und einer Flughöhe von 150 km ist theoretisch eine Auflösung von 10 cm möglich.

Referenzen