Beugungsscheibchen

Berechnetes Beugungsbild im Fernfeld hinter einer Kreisblende. In der Darstellung ist die Intensität logarithmisch auf die Helligkeitsskala umgesetzt. Dies kommt dem realen Eindruck durch das Auge nahe.

Beugungsscheibchen entstehen bei der Beugung eines Lichtstrahls an einer Blende. Ist die Blende kreisförmig, beobachtet man ein zentrales Maximum, umgeben von Ringen abnehmender Licht-Strahlungsintensität. Andere Bezeichnungen sind Beugungsring oder Airy-Scheibchen. Nichtkreisförmige Blenden erzeugen gleichfalls Beugungsstrukturen, die sich deutlich von einem Beugungsscheibchen unterscheiden können (Spikes). Mathematisch wird die Beugung von Licht durch das Beugungsintegral beschrieben.

Phänomenologie

Selbst ein nach den Gesetzen der geometrischen Optik perfektes Instrument, ohne Abbildungsfehler, kann einen als Objekt gegebenen Lichtpunkt nicht genau auf einen Punkt abbilden, sondern durch die Beugung des Lichts an der Apertur entsteht in der Bildebene ein unscharfer Fleck. Die Form des Flecks hängt reziprok von der Form der Apertur ab, insbesondere ist seine Größe umgekehrt proportional zur Größe der Apertur. Bei kreisförmiger Apertur, gegeben etwa durch die runde Fassung einer Linse, ist auch der Fleck rotationssymmetrisch, mit einem zentralen Maximum und schwachen, konzentrischen Ringen. Da die Größe dieses Musters zudem von der Wellenlänge abhängt, sind bei weißem Licht die Beugungsringe kaum zu sehen. Der zentrale Beugungsfleck wird nach dem englischen Astronomen George Biddell Airy auch Airy-Scheibchen genannt.

Versucht man benachbarte Punkte eines Objektes auseinanderzuhalten und erhöht über die Bildweite die Vergrößerung, so wächst zwar der Abstand zwischen den entsprechenden Beugungsbildern, aber auch die Beugungsbilder selber werden im gleichen Verhältnis größer. Man spricht von Beugungsbegrenzung des Winkelauflösungsvermögens. Einfach zu berechnen sind Beugungsbilder für unendliche Bildweite. Das entspricht der Lochkamera und der Fresnelschen Näherung des Beugungsintegrals.

Beugung an einer Kreisblende

Intensität hinter einer kreisförmigen Blende

Die Feldstärke E(r) hinter einer mit monochromatischem Licht bestrahlten Lochblende folgt der Funktion

$E(r) = E_0 \cdot \frac{J_1(2 \pi r)}{\pi r}$

wobei r der Abstand vom Punkt maximaler Intensität und J₁(r) die Besselfunktion erster Art ist.

Die Lichtintensität I(r) ~ E²(r) folgt der Funktion

$I(r) = I_0 \cdot \left(\frac{J_1(2 \pi r)}{\pi r}\right)^2$

Die Intensität geht in regelmäßigen Abständen auf Null und enthält nach außen schwächer werdende Nebenmaxima. Die Größe der zentralen Beugungsscheibe ergibt sich aus der ersten Nullstelle der Funktion J₁(2πr) / (πr), die bei r=0,6098... liegt.

Der Winkeldurchmesser θ des Randes des zentralen Beugungsscheibchens ergibt sich aus dem doppelten Winkelradius zu:

$\sin\,\theta/2 = 2 \cdot 0{,}6098\dots\ \cdot \frac {\lambda}{D}$

$\theta \approx 2{,}4392 \cdot \frac {\lambda}{D}$

mit

• λ = Wellenlänge des Lichts und
• D = Durchmesser der Blende.

Die Funktion J₁(2πr) / (πr)

• hat für r=0 den Funktionswert 1,
• die Standardabweichung des ersten Beugungsscheibchens beträgt 0,1975,
• hat für r=0,2572 den Funktionswert √½ (50% der Intensität),
• hat für r=0,3526 den Funktionswert ½ (25% der Intensität),
• hat bei r=0,6098 die erste Nullstelle
• hat bei r=0,8173 das erste Nebenmaximum mit dem Funktionswert -0,1322 (1,75% der Intensität)
• hat weitere Nullstellen bei 1,1166, 1,6192, ...
• hat weitere Nebenmaxima bei 1,3396, 1,8493, ...
• erhält man in Excel mittels (BESSELJ(2*PI()*x,1)/(PI()*x))^2 mit dem Argument x

Die Größe des Beugungsscheibchens, das sich aus dem effektiven Blendendurchmesser eines optischen Systems ergibt, bestimmt das Auflösungsvermögen. Zwei Punkte lassen sich dann sicher (nach dem Rayleigh-Kriterium) trennen, wenn die Abbildung ihre Maxima mindestens um den Radius r des Beugungsscheibchens auseinander liegt.

Bildet eine Linse das Bild mit der Brennweite f ab, hat das zentrale Beugungsscheibchen den Durchmesser $d = \theta \cdot f$

$d = 2{,}4392\dots \ \cdot\frac{\lambda\cdot f}{D}$

mit

• λ = Wellenlänge des Lichtes,
• f = Brennweite der abbildenden Linse und
• D = Durchmesser der Linse.

Je größer der Durchmesser D bzw. je kleiner die Blendenzahl f / D ist, desto kleiner ist der Winkel α bzw. der Durchmesser d des Beugungsscheibchens. Daher benötigen hoch auflösende Teleskope große Spiegel.

Näherungsformel zum Abschätzen

In der Praxis rechnet man oft mit folgenden Näherungsformeln:

d = 1 µm * f / D                                 (Rayleigh-Kriterium ergibt d = 0,67 µm * f / D)

Beispiel: eine Blende von f / D = 11 ergibt ein Beugungsscheibchen von 11 µm Durchmesser.

α = 100 mm / D * Winkelsekunden     (Rayleigh-Kriterium ergibt α = 140 mm / D * Winkelsekunden)

Beispiel: eine Objektivöffnung von D = 100 mm Durchmesser erlaubt eine Winkelauflösung von 1".

Andere Blendenformen

Links Blende, rechts berechnete Beugungsscheibchen.

Detailansicht: Beugungsbild einer Rechteckblende (kleines Bild oben links), Intensität der Nebenmaxima überhöht.

Weicht die Blende von der Kreisform ab, verändert sich die Form des Zentralmaximums und der höheren Beugungsordnungen. Das Bild links zeigt ein Beispiel für eine Rechteck-Blende. Ihre Orientierung ist oben links in der Bildecke angedeutet. Das Verhältnis von Höhe und Breite spiegelt sich auch im Zentralfleck wider, aber mit reziproken Verhältnissen, da Blende und Beugungsbild über die Fourier-Transformation verknüpft sind. Die Nebenmaxima sind am stärksten in den Hauptrichtungen ausgeprägt.

Das Bild rechts zeigt Beugungsscheibchen (rechts) unterschiedlicher Blenden (links). Die ringförmige Helligkeitsmodulation, die man bei einer kreisförmigen Blende erwartet, ist überlagert von strahlenförmigen Sternen, den sogenannten Spikes. Besonders deutlich treten sie bei der Dreiecksblende hervor.

Beispiele für beugungsbegrenzte Auflösung

Alle Betrachtungen erfolgen, wenn nichts anderes angegeben ist, bei einer Wellenlänge von λ = 555 nm.

• Ein beugungsbegrenztes Foto-Objektiv mit einer Blendenzahl von f / D = 2,95 erzeugt ein Beugungsscheibchen von genau 4 µm Durchmesser. Dies ist nur auf extrem hochauflösenden Schwarz-Weiß-Negativfilmen noch erkennbar. Bei einer Blendenzahl f / D = 11 ist das Beugungsscheibchen einen Durchmesser von 15 µm, d.h. auf vielen Filmemulsionen schon erkennbar.
• Wenn die Internationale Raumstation ISS mit einem Objektiv mit D = 140 mm Durchmesser ausgerüstet ist, lassen sich Details der Größe von einer Winkelsekunde auflösen. Bei einer Flughöhe von 350 km entspricht das einer Auflösung x von 1,7 m.
  Um die Details auch fotografieren zu können, müssen sie größer sein als das Auflösungsvermögen d des Sensors. Wenn d = 4,8 µm beträgt, ist eine Brennweite f von mindestens 1 m erforderlich.
• Das Hubble-Weltraumteleskop umkreist die Erde in einer Höhe von h = 590 km. Sein Spiegel hat einen Durchmesser von D = 2,4 m. Auf die Erde gerichtet hätte es unter optimalen Bedingungen eine Auflösung von 14 cm.
• Große Spiegel sind teuer. Spionagesatelliten kompensieren den Nachteil kleinerer Spiegel mit einer geringen Flughöhe. Bei einem Spiegeldurchmesser von 1 m und einer Flughöhe von 150 km ist theoretisch eine Auflösung von 10 cm möglich.
• Ein alltäglich beobachtbares Beispiel für Beugungsscheibchen ist die intrinsische Wahrnehmung (d. i. die Wahrnehmung eines Reizes, der im an der Wahrnehmung beteiligten Sinnesorgan selbst seinen Ursprung hat), die durch abgestorbene Zellen im Kammerwasser des Auges entsteht. Blickt man gegen eine helle, möglichst einfarbige Fläche (z. B. gegen den Himmel) so sieht man schwache, „durchsichtige“ Kringel, die langsam nach unten sinken und sich oft zu Ketten zusammenschließen: eben die Beugungsscheibchen, die durch erwähnte im Kammerwasser schwimmende Zellen hervorgerufen werden.

Weblinks

 Commons: Beugung – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien