Bloch-Theorem

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x₀-periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:

Definition: Es sei ein periodisches Potential V(x) mit der Periodizität x0 gegeben, V(x + x0) = V(x). Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form $\psi(x)=e^{ikx}\cdot u_k(x)$ wobei uk(x) eine periodische Funktion mit Periode x0 ist (uk(x) = uk(x + x0)).

Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x₀) überträgt sich also auf u_k(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ|² des betrachteten Teilchens im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x₀ durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.

Kurze Herleitung

Das Potential $V(\vec{r})$ ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor $\vec R$ (in einem Kristall ist $\vec{R}$ ein Gittervektor):

$V(\vec{r}) = V(\vec{r}+\vec{R})$

Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator $\hat H=\frac{\hat P^2}{2m}+V(\vec r)$ des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor R gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:

$\psi(\vec{r}+\vec{R}) = f(\vec{R}) \psi(\vec{r})$.

Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch

$f(\vec{R}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}$.

Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.

Literatur

• Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, Fourth Edition, Singapore – River Edge – London: World Scientific, Seite 29ff.
• Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin – New York: Walter de Gruyter.
• Kittel, Charles (2006): Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 194
• Ibach, Harald / Lüth, Hans (1991): Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin – Heidelberg: Springer-Verlag, Seite 106fff