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Der Babystep-Giantstep-Algorithmus berechnet den diskreten Logarithmus eines Elements einer zyklischen Gruppe. Der Algorithmus ist zwar in der Laufzeit dem naiven Ausprobieren aller Möglichkeiten überlegen, ist aber dennoch für sehr große Gruppen praktisch nicht durchführbar. Der Algorithmus stammt von Daniel Shanks.
Theorie
Gesucht sei der diskrete Logarithmus x: = logga mit endliche zyklische Gruppe der Ordnung n und a Gruppenelement.
Mittels Division durch Rest lässt sich zu einem fest gewählten m eine eindeutige Darstellung finden. Hierbei wird häufig gewählt, um den möglichen Zahlenbereich der i und j ähnlich groß zu halten. Durch Umformen ergibt sich mit dieser Darstellung wegen a = gx = gim + j die dem Algorithmus zugrundeliegende Eigenschaft gj = ag − im.
Der Algorithmus sucht nach einem Paar (i,j) das diese Eigenschaft erfüllt und erstellt hierzu zunächst eine Tabelle der „baby steps“ (j,gj). Anschließend berechnet für wachsende i sukzessive die „giant steps“ und prüft auf Gleichheit mit einem Wert in der Tabelle. Liegt eine solche Kollision vor, ist dies das gesuchte Paar und der Logarithmus im + j wird ausgegeben.
Mit Zugriffszeiten auf einzelne Elemente der Tabelle von – im Falle von geeignet schnellen Datenstrukturen wie Hashtabellen entspricht dies – hat der Algorithmus eine Laufzeit von mit Speicherbedarf .
Algorithmus
Eingabe: Endliche zyklische Gruppe G, Erzeuger g, Gruppenelement a
Ausgabe: x: = logga mit gx = a
- Berechne n: = | G | ,
- Für alle : Berechne gj und speichere (j,gj) in einer Tabelle.
- Für alle : Berechne a(g − m)i und suche danach in der zweiten Spalte der Tabelle. Wenn gefunden, gib im + j aus.
Wegen a(g − m)i = a(g − m)i − 1g − m lässt sich das Gruppenelement im letzten Schritt leicht aus dem der vorhergehenden Iteration berechnen.
Beispiel
Weil 11 eine Primitivwurzel modulo 29 ist, gilt . Sei also die prime Restklassengruppe mit Erzeuger g: = 11. Wir wollen den diskreten Logarithmus von a: = 3 zur Basis g berechnen.
- Die Gruppenordnung ergibt sich zu , da 29 eine Primzahl ist (hierbei ist die Eulersche φ-Funktion). Somit ist .
- Für berechnet man die Paare (j,11j) und speichert sie in einer Tabelle:
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j 0 1 2 3 4 5 11j 1 11 5 26 25 14
- Es ist 11 − 6 = 1128 − 6 = 13. Man berechnet für die Zahl und terminiert, sobald sie in der zweiten Komponente der vorherigen Tabelle gefunden wurde:
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i 0 1 2 3 10 14
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