Analysis

Die Analysis [aˈnalyzɪs] (gr. ανάλυσις análysis „Auflösung“, altgr. ἀναλύειν analýein „auflösen“) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Zielmenge in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Teilgebiete der Analysis

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton

Augustin Louis Cauchy

Bernhard Riemann

Neben der Differential- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die Variationsrechnung, die Vektoranalysis, die Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis.

Eine ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie in der Analysis. So kann die Fragestellung, welche Funktionen die Cauchy-Riemann'schen-Differentialgleichungen erfüllen, als Fragestellung der Theorie partieller Differentialgleichungen verstanden werden. Deshalb werden die Grundlagen der Funktionentheorie auch als komplexe Analysis bezeichnet.

Im weiteren Sinne können auch die Gebiete der harmonischen Analysis, der Differentialgeometrie mit den Teilgebieten Differentialtopologie und Globale Analysis, der analytischen Zahlentheorie, der Nichtstandardanalysis, der Distributionentheorie und der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren dazu gezählt werden. Diese Theorien haben jedoch eigenständige Fragestellungen, verwenden aber auch Methoden aus der Analysis.

Differentialrechnung

→ Hauptartikel: Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x₀,y₀) und (x₁,y₁) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

$m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.$

Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. f(x) = x² kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt (x₀,f(x₀)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x₀ berechnen kann. Wählt man eine Stelle x₁ ganz nahe bei x₀ und legt eine Gerade durch die Punkte (x₀,f(x₀)) und (x₁,f(x₁)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)

$m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x₁ immer weiter an x₀ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

$f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x₀. Der Ausdruck $\lim_{x\rightarrow x_0}$ bedeutet, dass x immer weiter an x₀ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x₀ beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen x₀“. Die Bezeichnung lim  steht für Limes.

$f^\prime (x_0)$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, wenn der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existiert.

Integralrechnung

→ Hauptartikel: Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

$\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x := \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).$

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der sogenannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

→ Hauptartikel: Fundamentalsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis in folgender Weise „invers“ zueinander.

Wenn f eine auf einem kompakten Intervall [a,b] stetige reelle Funktion ist, so gilt für $x\in(a,b)$:

${\mathrm d \over \mathrm dx} \left(\int_a^x f(\bar x) \mathrm d\bar x\right)= f(x)$

und, falls f zusätzlich auf (a,b) gleichmäßig stetig differenzierbar ist,

$\int_a^x\left({\mathrm{d}\over \mathrm{d}\bar x}f(\bar x)\right)\mathrm{d}\bar x = f(x) - f(a).$

Deshalb wird die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f auch als unbestimmtes Integral bezeichnet und durch $\textstyle \int f(x) \mathrm dx$ symbolisiert.

Mehrdimensionale Analysis

Beispiel für eine mehrdimensionale Funktion: f(x,y) = y ·sin x²

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtet Funktionen $\textstyle f : D \subseteq \R^m \to \R^n$ mehrerer reeller Variablen, die oft als ein Vektor beziehungsweise n-Tupel dargestellt werden.

Die Begriffe der Norm (als Verallgemeinerung des Betrags), der Konvergenz, der Stetigkeit und der Grenzwerte lassen sich analog in mehrere Dimensionen verallgemeinern.

Wichtige Begriffe aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung sind die Richtungs- und die partielle Ableitung, welche Ableitungen in einer Variablen beziehungsweise einer Richtung sind. Der Satz von Schwarz stellt sicher, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff der totalen Differentiation von Bedeutung. Dieser kann interpretiert werden als die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion und ist das mehrdimensionale Analogon der (ein-dimensionalen) Ableitung. Der Satz von der impliziten Funktion über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden.

In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie das Kurvenintegral, das Oberflächenintegral und das Raumintegral. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und der Satz von Fubini, welcher es erlaubt Integrale über n-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. Auch die Integralsätze aus der Vektoranalysis von Gauß, Green und Stokes sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Sie können als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0
• Jean Dieudonné: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, U.S., 1968 ISBN 0-12-215530-0
• Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
• Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
• Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2
• Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks

 Wikibooks: Mathematik in mehreren Bänden, Band 4, Analysis – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Analysis – Lern- und Lehrmaterialien

 Wiktionary: Analysis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Calculus. In: MathWorld. (englisch)
• Topics on Calculus bei PlanetMath
• Calculus.org: The Calculus page bei University of California, Davis – Ressourcen und enthält Links zu anderen Websites