Banachlimes

In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum $\ell^\infty$.

Definition

Im folgenden bezeichne T den Rechtsshift

$T(x_n)_{n\in\N} = (x_{n+1})_{n\in\N}$

und $e = (1, 1, 1, \ldots)$ die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional $\ell\colon\ell^\infty\to\R$, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

• $\ell(e) = 1,$
• für alle $x \in \ell^\infty$ gilt
  • $\ell(x) = \ell(Tx),$
  • falls $x_n \ge 0$ für alle $n \in \N$, so ist auch $\ell(x) \ge 0.$

Eigenschaften

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass $\ell$ den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen c definiert ist, nach $\ell^\infty$ fortsetzt:

$\ell(x) = \lim_{n\to\infty} x_n$ für $x\in c$

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

$x = (1, 0, 1, 0, \ldots)$

Aufgrund der Linearität von $\ell$ und der Invarianz unter T ist der Banachgrenzwert von x gleich 0,5.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus $(\ell^\infty)'$, das nicht von der Gestalt

$x \mapsto \sum_{n=1}^\infty c_n x_n, \quad c \in c_0$

ist.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 126.