Satz von Banach-Mackey

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheits-Eigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln

Ist $B\subset E$ eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist $\textstyle E_B := \bigcup_{t>0}tB$ ein Untervektorraum von E, der durch das auf E_B eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man B eine Banachkugel.

• Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum E_B ein Banachraum ist.
• Im Folgenraum ω aller reellen Folgen ist die Menge B aller Folgen (x_i)_i mit x_i = 0 für alle i > n und $|x_i|\le 1$ für $i=1,\ldots, n$ eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von B auf $E_B\cong \R^n$ ist gleich der Maximumsnorm.
• Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln. ^[1]
• Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey

Eine Teilmenge $B\subset E$ eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. B heißt stark beschränkt, wenn $\sup\{|f(x)|;\, x\in B, f\in M\} < \infty$ für alle Teilmengen $M\subset E^'$ des Dualraums, für die $\sup\{|f(x)|;\,f\in M\}<\infty$ für alle $x\in E$ gilt.

Indem man für die Mengen M in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

• Satz von Banach-Mackey^[2]: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen

• Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.^[3]
• Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert^[4].

Einzelnachweise

1. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14
2. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12
3. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15
4. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21