Bartlett-Test

Als Bartlett-Test (auch: Bartlett's Test) werden zwei verschiedene Tests bezeichnet:

• der Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen in k Stichproben und
• der Bartlett-Test auf Spherizität zur Durchführung einer Faktorenanalyse.

Beide Tests beruhen auf einem Likelihood-Quotienten-Test und setzen eine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen

Er prüft, ob k Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z.B. die ANOVA, setzen voraus, dass die Varianzen der k Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 entwickelt von Maurice Bartlett.^[1]

Voraussetzung

Der Bartlett Test setzt eine Normalverteilung in den k Gruppen voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown–Forsythe Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung der Voraussetzung reagieren.

Hypothesen

Der Barlett Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

$H_0: \sigma_1^2 = ... = \sigma_k^2$ vs. $H_1: \exists i,j \mbox{ mit } \sigma_i^2\neq\sigma_j^2$

Teststatistik

Wenn die k Gruppen Stichprobenvarianzen $S_i^2$ und Stichprobenumfängen n_i haben, dann wird die Teststatistik definiert als

$X^2 = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum_{i=1}^k(n_i - 1)\ln(S_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)}\left(\sum_{i=1}^k(\frac{1}{n_i-1}) - \frac{1}{N-k}\right)}$

mit $N = \sum_{i=1}^k n_i$ und $S_p^2 = \frac{1}{N-k} \sum_i (n_i-1)S_i^2$, der gepoolten Varianz.

Die Teststatistik ist X² approximativ $\chi^2_{k-1}$ verteilt mit k − 1 Freiheitsgraden. D.h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisation der Teststatistik größer ist als $\chi^2_{k-1,\alpha}$.

Der Bartlett Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood Quotienten Tests.

Bartlett-Test auf Spherizität

Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die Korrelation der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

Voraussetzung

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Hypothesen

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix R gleich der Einheitsmatrix E ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

$H_0: R=E\,$ vs. $H_1: R\neq E$

Teststatistik

Wenn p die Anzahl der Variablen ist für die die Korrelationsmatrix R berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

$X^2 = -\left(n-1-\tfrac{2p+5}{6}\right)\log(|R|)$

mit n die Anzahl der Beobachtungen und | R | die Determinate von R.^[2]

Die Teststatistik ist X² approximativ $\chi^2_{p(p-1)/2}$ verteilt mit p(p − 1) / 2 Freiheitsgraden. D.h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisation der Teststatistik größer ist als $\chi^2_{p(p-1)/2,\alpha}$.

Einzelnachweise

1. ↑ Maurice Bartlett: Properties of sufficiency and statistical tests. In: Proceedings of the Royal Statistical Society Series A. 160, 1937, S. 268–282.
2. ↑ SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.

Weblinks

• NIST page on Bartlett's test